a,bを正の実数とする。xy平面上に、2曲線C:y=-ax^3+bx,D:y=1/xがある。CとDが

a,bを正の実数とする。xy平面上に、2曲線C:y=-ax^3+bx,D:y=1/xがある。CとDが点Pを共有し、PにおけるCとDの接線が一致するとき、以下の問いに答えよ。
(1)bをaで表せ。
(2)Cとx軸で囲まれる部分の面積Sは、a,bの値によらず一定であることを示し、Sの値を求めよ。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2018/05/06 19:13

(1)

点Pの座標を(p,1/p)とおくと、
1/p=-ap³+bp　←曲線C上にあるから　①
-1/p²=-3ap²+b　←接線の傾きが等しいから　②

①の両辺をpで割って、1/p²=-ap²+b　③
これを②の左辺に代入して、
ap²-b=-3ap²+b
p²=b/2a
これを③に代入して、
2a/b=-a(b/2a)+b
∴b=2√a (∵a,b>0)

(2)
y=-ax³+bx=0を解くと、x=0,±√(b/a)=±2√b/bだから、
S=-∫[-2√b/b→0](-ax³+bx)dx + ∫[0→2√b/b](-ax³+bx)dx
=2 (途中計算省略。b=√2aを使って自分で計算してみて下さい）