ばねの減衰振動についての質問です。周期１秒で10秒で振幅が1/10になる減衰比を教えてください。

ばねに重りを吊るした系において、周期が1秒で10秒で振幅が1/10になる減衰比を教えてください。
例えば、初期の振幅が10だとすると、10秒後の振幅が1になるということです。

求めた式なども記載していただけると嬉しいです。どうかよろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/08 21:04

詳しい話は省略して、この手の「減衰」は、初め振幅が大きいときには大きく減衰し、振幅が小さくなっていくにつれて減衰も小さくなっていく、という特性を示します。

（空気の抵抗や摩擦などのように、「速度」に比例した減衰力が働く場合です）

つまり、振幅が時間 t とともに
　A(t) = A0 * e^(-t/T)
になっていきます。

通常は、
　A(t) = A0/e
となる時間を「寿命」とか「時定数」と呼び、
　A(t) = A0/2
となる時間を「半減期」などと呼びます。

10秒間で振幅が 1/10 になるのなら
　A(10) = A0 * e^( -10/T) = A0/10
なので
　e^( -10/T) = 1/10
両辺の自然対数を取れば
　-10/T = ln(1/10) = -ln(10)
従って
　1/T = ln(10) /10 ≒ 0.23

よって、振幅の式は
　A(t) = A0 * e^(-0.23t)　　　①
と表せます。

この場合に、１周期で振幅がどれだけ小さくなるかの比で「減衰比」を定義すると、①の式の形からどの周期をとっても一定値になることが分かります。
ある t=n のときの振幅に対して、１周期（＝１秒）後の t=n+1 のときの振幅の比は
　減衰比 = A(n+1) / A(n) = { A0* e^[ -0.23 * (n+1) ] } / A0 * e^(-0.23 * n) = e^(-0.23) ≒ 0.795
つまり「減衰比は 79.5%」といえると思います。

検算のため、10周期でどれだけ減衰するかを計算すると
　0.795^10 = 0.10084･･･ ≒ 0.1
で 1/10 に減衰していますね。

この回答へのお礼

とてもわかりやすく丁寧な回答ありがとうございました。本当に助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2018/05/09 10:38