次の連立一次方程式に対して、収束を保証するヤコビ法のアルゴリズムの反復計算式を書け。 x+3y=2

次の連立一次方程式に対して、収束を保証するヤコビ法のアルゴリズムの反復計算式を書け。
x+3y=2
-5+2y=7

この問題の解き方がわかりません。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/22 01:50

ヤコビ法

ヤコビ法には、連立一次方程式の解法と行列の固有値を求める方法とがあり、二つはまったく別のものであり,固有値を求める方法の方が有名である。ここで扱うのは、連立一次方程式の解法の問題である。連立一次方程式の解法にはガウスの消去法があるが、ヤコビ法はプログラムが簡単な特徴がある。大きな行列で高速コンピュータ計算のときに使う。
問題の式を①②とすると、①の第１項と②の第２項を対角要素という。
x+3y=2＿＿①
-5ｘ+2y=7＿＿②
対角要素のｘ、ｙを解くと③④となる。つまり、
式①からxを解いて③、式②からxを解いて④となる。
x=(2-3y) ＿＿③
y=(7+5x)/2＿＿④
x=0、y=0を③④に入れて得たxとyを、再度③④に入れる。これを繰り返して解を得るのがヤコビ法である。しかし、実際には、答えのxyは∞になり、発散してしまう。図左側
そこで、①②の順序を変えて⑤⑥とする。
-5ｘ+2y=7＿＿⑤
x+3y=2＿＿⑥
式⑤からxを解いて⑦、式⑥からxを解いて⑧とする。対角要素の係数が大きいと成功する。
ｘ=(7－2y)/ (-5)＿＿⑦
y=(2－x)/3＿＿⑧
これを使って反復計算すると、10回目に⑨⑩の解が得られる。図右側
x=－1.0000＿＿⑨
y＝1.0000＿＿⑩
問題の答えの式は⑦⑧式である。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/06/16 14:44

数学と言うより、プログラム問題じゃないの？

2行目は-5+2y=7では無く、-5x+2y=7 では無いか？？？？

x=(2-3y)
y=(7+5x)/2

として、右辺のx,yに適当な値を入れて、左辺のx,yを求める。
求めた結果のx,yをさらに右辺に代入して、左辺のx,yを求める。

これを繰り返すと、x,yは真の値に収束して行く。