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271 「nは自然数とする。n, n+2, n+4がすべて素数ならばn=3であることを示せ」という問題なんですが、なんで3k, 3k+1,3k+2なんですか?

「271 「nは自然数とする。n, n+2」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 4k,4k+1,4k+2,4k+3とかすべての整数を表すことができたらなんでもいいんですか?

      補足日時:2018/07/11 23:02
教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

nが自然数のときn,n+2,n+4の内どれか一つが3の倍数になることが分かります。


したがって、上記を示せば、良いことになります。
一般的に、「f(n)が3の倍数であることを示せ。」では、
n=3k,3k+1,3k+2 または、 n=3k,3k±1と置くのが、定石です。
よって、nを問題集のように置くことになります。

ちょっと、気になりますが、
「kを自然数として、・・・3kは素数ではない」は良いのですか。
kを自然数として、n=3k+1,3k+2,3k+3とすれば、
n=3(k+1)は素数ではない。はOKです。
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4の倍数に0,1,2,3を足しても、すべての整数を表現することはできますが、



この証明の場合は、4の倍数を当てはめてやろうとすると、
n=4k、n=4k+2=2(2k+1)は偶数なので、偶数>4であるので素数ではないということはできますが、
n=4k+1(や n=4k+3)の場合は、n=4(k+1)+1=4k+5(など)となり、
m・n (m,n∈Z)の形にできないのでうまくいきません。
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どんな整数であったとしても、3の倍数か、それに1を足したものか、2を足したものの、どれかになるから。


逆に言うと、どんな整数であっても3で割り切れるか、あまりが1になるか、2になるかということです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2018/07/11 23:01

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