加速度から 速度v(t) 位置x(t) を求めなさい。 初期条件はv(0 )=2 x(0)=1 a=

加速度から
速度v(t)
位置x(t)
を求めなさい。
初期条件はv(0 )=2
x(0)=1

a=-2v

変数分離のやり方オナシャス
紙とかに書いてくれると嬉しいです。
基本的な解き方でよろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• １つだけいいですか？
  dv/dt = -2v
  ↓
  ∫(1/v)dv = -2∫dt
  
  どのようにして変形しましたか？

    補足日時：2018/07/30 16:34

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/30 17:40

No.1です。

「補足」に書かれたことについて。

＞dv/dt = -2v
＞↓
＞∫(1/v)dv = -2∫dt
＞
＞どのようにして変形しましたか？

これ、数学的には下記のようになりますが、dv/dt を「ほとんど分数」とみなして
　dv/dt = -2v
→dt をかけて　dv = -2vdt
→v で割って　(1/v)dv = -2dt
とやって大丈夫です。（これは物理的な便法）

数学的には、
　dv/dt = -2v
→　(1/v)dv/dt = -2
を t で積分するときに、左辺を置換積分
　∫f(v)dv = ∫f(v)(dv/dt)dt
の公式で、
　f(v) = 1/v
とおいたものと考えればよいです。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/07/30 16:05

加速度が

　a = dv/dt
であることさえ分かっていれば、初めから「変数分離」されていますよ。
「基本的な解き方」も何も、問題そのものが「基本」です。

＞a=-2v

なら
　dv/dt = -2v
ですから
　∫(1/v)dv = -2∫dt
→　log(v) = -2t + C1　　(C1：積分定数）
→　v(t) = e^(-2t + C1) = C2 * e^(-2t)　　(C2 = e^C1)

初期条件より
　v(0) = C2 = 2
よって
　v(t) = 2 * e^(-2t)

x = dv/dt であるから、これを積分して
　x(t) = ∫vdt = -e^(-2t) + C3　　(C3：積分定数）

初期条件より
　x(0) = -1 + C3 = 1
→　C3 = 2
よって
　x(t) = 2 - e^(-2t)

この回答へのお礼

参考にさせてもらいます。
ありがとうございます。

お礼日時：2018/07/30 16:07