こんにちは。高三なのですが、物理をやっていて、 写真のような条件のもとで、与式である一次式の加速度、

こんにちは。高三なのですが、物理をやっていて、
写真のような条件のもとで、与式である一次式の加速度、速度、位置を求めよ、という問題なのですが、
講師曰く、tの一次式とみるのではなく、t-t0の一次式と見たら瞬間的にパッと計算できるらしいのですが、どういう意味で、なぜそれでパッとできるのか分かりません。また、①②③が解答なのですが、なぜそうなるのかが理解できません。申し訳ありませんが、できるだけ分かりやすく説明して頂きたいです。よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 質問に写真を載せ忘れていたので、再投稿です。
  tの一次式と捉えるより、t-t0の一次式とするとパッと出来るらしいのですが、理解が困難です。

    補足日時：2023/04/18 18:18

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/18 20:56

大学生並みに微積分を使って解いているのですね。

数学で習った「置換積分」というものを思い出しましょう。

ふつうに解けば
　x'' = d²x/dt² = At + B
を t で積分して、初期条件である t=t0 のときの値から積分定数を確定していきます。

それを最終的に「t0 からの経過時間 (t - t0)」の関数として表したいのなら、いわゆる「置換積分」で
　T = t - t0
と置けばよいです。
こう置けば
　t = T + t0
ですから
　dt/dT = 1
です。

従って、元の関数は
　x'' = At + B = A(T + t0) + B
　　= AT + (A･t0 + B)
よって
　x' = ∫x''dt = ∫[AT + (A･t0 + B)](dt/dT)dT
　　= ∫[AT + (A･t0 + B)]dT
　　= (1/2)AT^2 + (A･t0 + B)T + C1　（C1：積分定数）
t=t0 のとき T=0 なので
　x'(t=t0) = x'(T=0) = C1 = v0
より
　x' = (1/2)AT^2 + (A･t0 + B)T + v0　　　(*)
T を元に戻せば
　x' = (1/2)A(t - t0)^2 + (A･t0 + B)(t - t0) + v0　　(**)
これが②の式。

さらに、x を求めるには (**) を t で積分するのでが、同様に T = t - t0 と置換した (*) を T で積分して

　x = ∫x'dt = ∫[(1/2)AT^2 + (A･t0 + B)T + v0](dt/dT)dT
　　= (1/6)AT^3 + (1/2)(A･t0 + B)T^2 + v0･T + C2　（C2：積分定数）
t=t0 のとき T=0 なので
　x(t=t0) = x(T=0) = C2 = x0
より
　x = (1/6)AT^3 + (1/2)(A･t0 + B)T^2 + v0･T + x0
T を元に戻せば
　x = (1/6)A(t - t0)^3 + (1/2)(A･t0 + B)(t - t0)^2 + v0(t - t0) + x0
これが③の式。

要するに
　x'' = At + B = A(T + t0) + B
　　= AT + (A･t0 + B)
として T で積分しているだけ。

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2023/04/18 20:41

τ=t-t0とおくと、

問題で与えられている条件は

a=Aτ+B' (B'=At0+B)
τ=0の時にv=v0、x=x0
※微分を書くのは面倒なので、v,aと表記しています

となります。tとτという記号の違いを無視すれば、実質的にt0=0に相当する問題になっているわけですが、貴方はこの問題ならパッと解けますか？