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y=x²上の点P(t.t²)と、x-2y-4=0の距離の最小値

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質問者：onegaiooonegai
質問日時：2018/08/29 16:52
回答数：5件

y=x²上の点P(t.t²)と、x-2y-4=0の距離の最小値を求めよ
と言う場合
解法は２つ思いつき、答えは出ました。
解法としては①点と直線の距離の公式を利用
②直線の傾きと放物線の接線の傾きが一致する点が距離最小、という事から解く方法
を思いついたのですが、
②の「直線の傾きと放物線の接線の傾きが一致する点が距離最小」ということは証明なしに使って良いのでしょうか？
高校の定期試験、および大学入試の場面では②は証明してからでないと使えないでしょうか。

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回答 (5件)

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No.5

回答者： majimelon37
回答日時：2018/09/02 19:56

y=x²＿＿①とx-2y-4=0＿＿②の距離の最小値を求めよ。

下記のように第１の方法は第２の方法の証明を含んでいるので、その部分を省略してしまうと、バランス上、不十分な解答とみなされるでしょう。
二つの解法のうち、第一の方法を次のように行って見ます。
y=x²上の点をP(x1，y1)，x-2y-4=0上の点をQ(x2，y2)、とすると、
y1=x1²＿＿③，y2=(x2－4)/2＿＿④
PQの距離の二乗zは
z=( x1－x2)²+( y1－y2)²＿＿⑤
zの最小値を微分法で求めるには、
zをx1で偏微分して0とすると⑥、zをx2で偏微分して0とすると⑦が成り立つ。
(1/2)∂z/∂x1=( x1－x2)+(y1－y2)(dy1/dx1)=0＿＿⑥
－(1/2)∂z/∂x2=( x1－x2)+(y1－y2)(dy2/dx2)=0＿＿⑦
式⑥は点Pでの曲線①の接線とベクトル↗PQが直交する条件、
式⑦は点Qでの直線②の接線とベクトル↗PQが直交する条件、である。
⑥⑦をそれぞれ(y1－y2)で割ると⑧⑨となる。
( x1－x2)/(y1－y2)+dy1/dx1=0＿＿⑧
( x1－x2)/(y1－y2)+dy2/dx2=0＿＿⑨
これから式⑩が得られる。
( x1－x2)/(y1－y2)= dy1/dx1= dy2/dx2＿＿⑩
④から⑩は第一の方法の計算式か、それとも第二の方法の「直線の傾きと放物線の接線の傾きが一致する点が距離最小」ということの証明なのか。
式③④の微分を計算すると
dy1/dx1= dy2/dx2=2x1=1/2，x1=1/4＿＿⑪
⑪を③に入れると
y1=1/16＿＿⑫
④⑪⑫を⑦に入れると、x2は⑭となる。
( x1－x2)+(y1－y2)(dy2/dx2)=0＿＿⑦
=(1/4－x2)+(1/16－(x2－4)/2)(1/2)
=(8+1+32)/32－(1+1/4)x2=0＿＿⑬
x2=41/(5･8)=41/40＿＿⑭
y2=(x2－4)/2 =(41/40－4)/2=－119/80＿＿⑮