lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3} ∫{dx/√(1-(x^2))}

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}

∫{dx/√(1-(x^2))}

∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx

上記の3つの計算です。
どうぞよろしくお願いします。
解説や使う公式などももしあれば助かります。

No.2 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/09/08 20:16

lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}＿＿①

∫{dx/√(1-(x^2))} ＿＿②
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx＿＿③　を求める。

(１)式①の分子と分母を2^n割る。
4^n÷2^n＝2^nおよび2^(n+1)÷2^n=2を使うと
lim[n→∞] {(4^n)-1}/{(2^(n+1))+3}＿①
= lim[n→∞] {2^n－1/2^n}/{2+3/2^n}
= lim[n→∞] {2^n}/{2}=∞/2=∞
(2)x=sinθの置換積分を行う。
∫{dx/√(1-(x^2))} ＿＿②
0≦x<1のときx=sinθ＿④とすると、0<θ<π/2。
④をθで微分するとdx/dθ=cosθ＿⑤　dx= cosθdθ＿⑥
④⑥を②に入れると
∫{dx/√(1-(x^2))}＿②
=∫{ cosθdθ/√(1-(sinθ)^2)}=∫{ cosθdθ/cosθ}=∫dθ=θ+C=Arcsin x+C＿＿⑦
(3) y=x^2＿＿⑧による置換積分を行う。
⑧を微分するとdy/dx=2xとなるからdy=2xdx　dx=dy/(2x)＿＿⑨。
積分範囲はy=0～1となる。③に⑧⑨を入れると
∫[0 1]x/{(x^2)+2} dx＿＿③
=∫[0 1]x/{(y)+2} dy/(2x)
=∫[0 1]dy/{y+2}dy/2
=(1/2)[log(y+2)] [0 1] =(1/2)[log(3)－log(2)]=(1/2)log(3/2)　またはloge√1.5

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/04 23:49

どこで困っている?