なんで速さの積分で曲線の長さを定義するのでしょうか？

なんで速さの積分で曲線の長さを定義するのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 折れ線近似で定義するならわかりますが速さの積分一発で定義する場合直感的なイメージが湧きません。

  
    補足日時：2018/09/16 17:06

• 黒木玄氏の発言です。

  
    補足日時：2018/09/16 17:07

No.6 回答者： tsukita 回答日時： 2018/09/23 21:28

定義しているのではありません。

あくまで、直線上（外力の働かない慣性系）の速度の積分が距離であることを原理（または定義）として、曲線の長さは折れ線により近似しています。特に、「速さ」と「速度」の違いには注意してください。距離は、速度の積分です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/09/19 07:43

まあ、twitterだと字数が限られるので人を煙に巻くような話になりがち。

曲線の長さを折れ線近似の極限として積分に持って行くのは
全然問題有りません。最もシンプルで分かりやすいやり方で
物理数学の教科書の多くが採用してます。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/09/17 08:26

疑問の中心は「速さ」なのかな?

速さを時間で積分すると弧長になるのは
当然ですが、tは時間で無くても全然構わない。
つまり、この公式は媒介変数表示の曲線の
弧長を求める公式です。

これ答えになってますかね?

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/16 17:55

変位の時間変化率、つまり変位を時間で微分したものが「速度」だからです。

その逆を使って、「速度」を積分したのもが「変位」（曲線の長さ、移動した道のり）になる。

#1さんへの「お礼」に書かれていること：

＞速さは速度ベクトルの長さですよね。それに微小時間をかけて足し合わせたら曲線の長さに近づくというイメージが持てないです。

「速度ベクトル」は「xyz3次元空間」のベクトルではなく、「xyzt 4次元」のベクトルです。
「速度ベクトルの長さ」を、そもそも「xyz3次元空間」での長さと考えているのが間違いです。

「ｘ方向」だけの「１次元空間」で考えてください。「速度ベクトルの大きさ」は「x-t 曲線」における「傾き」に相当します。決して１次元の「x軸上」に「長さ」としては書けません。

No.2 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/09/16 17:45

速さを時間で積分すると移動距離になることが分からないのですか?

それとも、↑は分かるけど、媒介変数表示された曲線の長さが、媒介変数を時間とみなした時に↑と同じように計算できることが分からないのですか？
それとも、積分が分からないのですか？

No.1 回答者： ko-papa 回答日時： 2018/09/16 17:16

直感的ということであれば、速さを時間で積分すると移動距離になるから。

この回答へのお礼

速さは速度ベクトルの長さですよね。それに微小時間をかけて足し合わせたら曲線の長さに近づくというイメージが持てないです。

お礼日時：2018/09/16 17:22