No.2ベストアンサー
- 回答日時:
一般に,方程式 ax +by +cz + d = 0 で表される平面の法線ベクトルの1つは
(a,b,c)で表されます.
この問題の場合の平面の方程式 y = z を書き直すと,
0x + y - z + 0 = 0
となりますので,この平面の法線ベクトルの1つは
n' = (0,1,-1)
であることが判ります.
ただし,n'は単位ベクトルではありません.
また,ストークスの定理にでは,曲線Cの向きに右ねじを回したとき,右ねじが進む向き(これを単に「Cに対して右ねじの向き」といいます)に単位法線ベクトルをとりますが,n'はCに対して右ねじの向きになっているかどうかも判りません.
この問題の場合,平面 y = z は原点(位置ベクトルo = (0,0,0))を通り,
o + n' = (0,1,-1)
で表される点は,ANo.1の図より,Cに対して右ねじの向きにありません.
ということはn'の逆向きのベクトル
-n' = (0,-1,1)
は右ねじの向きになっているわけで,さらに-n'をこのベクトルの大きさ
|-n'| = √(0^2 + (-1)^2 + 1^2) = √2
で割り算すれば,右ねじの向きの単位法線ベクトルnが得られます:
n = -n'/|-n'| = (0,-1,1)/√2.
No.1
- 回答日時:
積分路をCとすると,Cは添付した図のようになっています.
で,ベクトル場Aを
A = (0,x,0)
と置くと,問題の積分は次のように書けます:
∮_C x dy = ∮_C A・dr.
ただし,drは曲線Cに沿った微小変位ベクトルです.
さて,添付図において平面上y = zのCに囲まれた領域をSと置くと,
ストークスの定理は
∮_C A・dr = ∫_S (rot A)・n dS
と表せます.この右辺において,
rot A = k = (0, 0, 1)
であり,単位法線ベクトルは
n = (0, -1, 1)/√2
なので,
∫_S (rot A)・n dS
= k・n ∫_S dS
= (1/√2) ∫_S dS
であり,∫_S dS はCに囲まれた領域(長半径√2,短半径1の楕円)の面積であるから,
∫_S (rot A)・n dS
= (1/√2)×(√2)π
= π.
以上より,求める積分は
∮_C x dy = ∮_C A・dr = ∫_S (rot A)・n dS = π.
検算も兼ねて,ストークスの定理を使わずに計算すると(この場合,こっちのほうが楽)
∮_C x dy
= ∫[0,2π] cos^2 t dt
= (1/2)∫[0,2π] (1 + cos 2t)dt
= π
となって,確かに一致します.
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