(1) f(x)=1/(1-x) のマクローリン展開f(x)=Σ[n=0 ∞] a_n x^n を求

(1) f(x)=1/(1-x) のマクローリン展開f(x)=Σ[n=0 ∞] a_n x^n を求めよ
(2) g(x)=1(1+x^2)のマクローリン展開f(g)=Σ[n=0 ∞] b_n x^nを1の結果を使って求めよ

(1)は順当にf(x)=(1-x)^-1 , f'(x)=1(1-x)^-2 , f''(x)=2・1(1-x)^-3 , … , f^(n)(x)=n!(1-x)^-n-1 , …
よってf(0)=1 , f'(0)=1! , f''(0)=2! ,… ,f^(n)(0)=n!
したがって1(1-x)=1+x+x^2+...+x^n+…
∴Σ[n=0 ∞] x^n (|x|>1)

(2)は(1)の結果からxと-x^2を置き換えて
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4+…+(-x^2)^n+…
∴ Σ[n=0 ∞] (-x^2)^n

としました。疑問なのは、(|x|>1)がとってつけたようだがいいのかなということと、(2)にもこのような条件を書いておく必要があるのか？その場合、どう書けばいいのか？ということです。

とやりました。、

質問者からの補足コメント

• 最後の1行は消し忘れなので無視してください。

    補足日時：2018/09/23 22:17

• sanura201809さん、ありがとうございます。
  (1)は|x|<1と条件を書いた方がやはりよいのですね。
  
  問題は(2)で、|x^2|<1 ⇒ |x|<1 ということでした。
  無限等比級数の定義からいくと、
  |-x^2|<1 ⇔ |x^2|<1 となるのはわかります。
  しかし、これを解くとなぜ|x|<1になるのでしょう。
  絶対値をはずし、x^2<1⇔x<√1=1なのはわかります。
  わからないのは-x^2<1 ⇔ x^2>-1 ⇔x>√-1で、
  虚数iとかになってしまいそうですが、このあたりはいかがでしょう。

    補足日時：2018/09/24 19:26

No.1 回答者： sakura201809 回答日時： 2018/09/23 22:30

|x|<1ですね。

実際、|x|<1ならば、
Σ[n=0 m] x^n=(1-x^(m+1))/1-x → 1/1-x (m→∞)ですから、
収束します。x=1の時は、元の関数f(x)が定義されませんからダメです。

(2)も書けるなら書いておいたほうが良いでしょう。
|x^2|<1 ⇒ |x|<1です。