
No.3
- 回答日時:
じゃぁこういう話を。
原点中心の半径1の円があります。まぁ単位円がそれですけどね。
ちょっと描いてみて。
その円上にある一点を見て下さい。
そこと原点を直線で結びます。
それとx軸とが為す角をθとします。
単位円っぽく、直角三角形が描けますよね。その一点からx軸に垂線を降ろして下さい。
その直角三角形は、斜辺の長さが1です。半径1の円だから。
ところで、その直角三角形について、sinθ=高さ/斜辺ですよね。
その高さってのはその一点の、y座標の値ですよね。
その点のy座標は、高さ=sinθ×斜辺。
斜辺の長さは1だから、y=高さ=sinθ、となります。
今度はその点のx座標。
垂線上がx座標ですよね。垂線を辿っていくとx軸にぶち当たる。
原点からその垂線とx軸との交点までは、直角三角形の底辺に相当します。
すると、cosθ=底辺/斜辺、x=底辺=cosθ×斜辺=cosθ。
円上のその一点の座標は、(cosθ,sinθ)、と表せます。
ところでこの円の方程式は、x²+y²=1²ですよね。
その一点の座標もこれに当てはまるわけで、従って、
cos²θ+sin²θ=1
です。
θが半分になろうと1/4になろうと、倍になろうと四倍になろうと、(cos?θ,sin?θ)はずっと円上にありますよね。円から出ていかない。
だから
cos²2θ+sin²2θ=1だし、cos²(θ/2)+sin²(θ/2)=1です。
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