No.2ベストアンサー
- 回答日時:
おそくなりましたが、再度補足をいたします。
非線形項を無視できるかできないかは変位が十分
小さいといえるかによっています。
(弦の横ずれ)/(弦の長さ)<<1
弦の伸びは、弦の横のずれの2乗に比例するので
線形近似では無視しています。弦は伸びないけれど
仕事をしているわけで、これは剛体同士がぶつかっ
て形を変えないけれども互いに力が働くようなもん
です。あるいは非圧縮流体でも力が伝播して流れが
起きる近似と似ているかもしれません。
あらかじめ横ずれがどれくらいになるかわかりませ
んので、その意味では波動方程式が正しい根拠は無
いです。実際、弦の振動で非線形効果によるソリト
ンが一般的に見られるようです。
ご回答頂きましてありがとうございました. 勉強不足で非線形効果によるソリトンについては知りませんでした. お礼が大変遅くなり申し訳ありませんでした.
No.1
- 回答日時:
弦の横方向の微小変位をy(x,t)とすると波動方程式
はyの2次以上の項を無視した線形近似として与えら
れます。弦の伸びによるρの変化は(∂y/∂x)^2に
なるので無視しているわけです。弦に加わる力は、
∂^2y/∂x^2に比例するので残るわけです。
しかし、memorytermさんのおっしゃるようにこの近似
には多少問題があります。yが小さいからといって
∂y/∂xも小さいとは限らないからです。
それを確認するには得られた線形波動方程式
∂^2y/∂t^2 = a ∂^2y/∂x^2 (aは比例定数)
を解いてみるとよいでしょう。
境界条件によって解は変わりますが固有振動の重ね合
わせになるわけです。ところが振動数の大きい固有振
動は∂y/∂xも大きくなってしまい近似が破綻してい
ることになります。
すなわち変位yが微小というだけでなく振動数も小さ
い(波がなめらか)という条件が必要になるわけです。
この回答への補足
ご回答頂きましてありがとうございました. おっしゃるように線形近似をする立場からは理解できますが, 振動の過程で弦の微小な伸びを無視してよいなら張力は仕事をしないはずなので変だと思ったわけです. Newtonの運動法則によって張力が原因で加速度が生じるけれども, 弦の微小部分の質量変化は無視してよいということなのでしょうか ?
補足日時:2004/11/12 16:03お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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