図のような上底面、下底面が共に正六角形で、側面はすべて両底面に垂直な正方形である六角柱がある。頂点O

図のような上底面、下底面が共に正六角形で、側面はすべて両底面に垂直な正方形である六角柱がある。頂点O,A,B,C,D,E,Fを図のようにとり、↑OA=↑a,↑OB=↑b,↑OC=↑cとするとき、以下の問いに答えよ。
(1)辺DE上に↑DP=s↑DE(0≦s≦1)を満たす点Pをとる。このとき、↑OPを↑a,↑b,↑c,sを用いて表せ。
(2)辺BF上に点Qを、2直線OP,AQが交わるようにとる。↑BQ=t↑BF(tは実数)とおくとき、sとtの間に成り立つ関係式を求めよ。
(3)s=0の時の3点O,P,Qを通る平面をπ0とし、s=1の時の3点O,P,Qを通る平面をπ1とする。六角柱の各辺の長さが1の時、六角柱でπ0とπ1に挟まれる部分の体積を求めよ。

解き方と答えを教えてください。お願いします。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2018/10/24 00:06

要点だけかいつまんでいうと

（1）
Ｄから上にのびている辺とＡから出てる辺との交点
つまりＤの真上にある、上面の正六角形の頂点をＧとすれば
↑OP＝↑OＡ＋↑ＡＧ＋↑ＧＤ＋↑ＤＰで
上面が正六角形ということから↑ＡＧ＝↑ＯＡ＋↑ＯＢ＝↑a＋↑b
したがって
↑OP＝2↑a＋(1＋ｓ)↑b＋↑c
（2）
（1）と同じように↑ＡＱ＝－↑a＋↑b＋ｔ↑cが出る。
そしてＯＰとＡＱの交点をＲとすれば
↑ＯＲ＝↑ＯＡ＋↑ＡＲでｍ、ｎ定数として
↑ＯＲ＝ｍ↑ＯＰ、↑ＡＲ＝ｎ↑ＡＱと書けるから
ｍ(2↑a＋(1＋ｓ)↑b＋↑c)＝↑a＋ｎ(－↑a＋↑b＋ｔ↑c)
この両辺の↑b、↑cの係数を比較して1＋ｓ＝1/ｔになります。
（3）
（2）よりｓ＝0のときｔ＝1したがってＰ＝Ｄ、Ｑ＝Ｆ
したがってπ0は線分ＡＯとＤＦを通る平面です。
また
ｓ＝1のときｔ＝1/2
このときはπ1は線分ＡＯと、下段の正六角形のＥから出てＡＯと対向している
辺、この２辺を通る平面になることに注意です。
したがって求める体積は、この六角注全体の体積の1/4です。