理想気体の状態方程式pv=nRTより、 d v=(δv/δT)・dT+(δv/δp)・dp ...➀

理想気体の状態方程式pv=nRTより、
d v=(δv/δT)・dT+(δv/δp)・dp ...➀
と書けますが、この表現ができる理由として
Δv= v(T+ΔT,p+Δp)-v(T,p)
を変形していくことで、微分の定義から➀の式が導ける、という説明を読みました。
これでも十分に納得しているのですが、もし➀の両辺を例えばあたsらしい変数t用いてdtで割れば
d v/dt=(δv/δT)・dT/dt+(δv/δp)・dp/dt
となり、これはv(T,P) ( T(t),p(t) のとき)をtで偏微分した式になっています。
このことから、温度Tと圧力pが共通の変数t(例えば時間)の関数となっていると考えることはできないでしょうか？
大学の先生には間違っていると言われましたが特に理由は教えてもらえなかったので、この考え方の問題点を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/16 05:58

pv=nRTでvはv(T, p)=nRT/p とした場合独立変数Tとpの関数です。

Tとpは独立で、Tとpを任意に変更しても
この式は成り立ちます。この式の意味はそういう意味です。

あなたのやろうとしていることは、Tとpは独立ではなく
双方ともtの関数だという「想定」を持ち込んでいるということ。
そうでなければdT/dtもdp/dtも定義出来ず、式が成立しません。

pとTが強制的にtのパラメータになるような制御機構が存在
すれば、間違ってはいないです。なければ間違いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
回答者様の中で最も数学的にも物理的にも妥当な回答だと感じましたので、ベストアンサーに選ばせていただきました。
majimelon37さんの回答と合わせて考えると、状態方程式と➀はP、Tが時間tをパラメータとするカルノーサイクルの解析のような場合にはもちろん成り立つが、P、Tが共通の変数を持たな位場合にも成立している、という考えで良いでしょうか。
僕の➀の式の導出の考え方は前者の特別な場合にのみ正しいものなので、全体的な証明としては不完全ということですね。

お礼日時：2018/11/23 11:08

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/11/23 02:14

温度Tと圧力pが共通の変数t(時間)の関数となっていると考えて問題ないと思います。

pV=nRTという式は状態方程式で、状態が定まれば、いつでも成立しています。例えば、等温変化でpが変化しても、断熱変化でpが変化しても、pV=nRTは成立します。カルノーサイクルのように、気筒に入れた気体をピストンで圧縮、膨張して、ある速度で回転するエンジンの特性を解析する時は、ｐ，V，Tは時間ｔの関数になります。
断熱圧縮するとTは上昇するが、そのときも、pV=nRTは成立しています。
急激な温度変化で、気筒内のガスの温度が一様でないと誤差が発生するが、その誤差が無視できるのであれば、問題ありません。ガスの温度が一様でないときは、温度を一つの変数Tで表すこともできないので、この議論の範囲からはずれます。
ジェットエンジンの解析でも、ガスの流れの中で、状態体方程式が使われるようです。
この時は、流れの中で温度が変わるが、定常流であれば、Tはtの関数です。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/11/17 01:02

理想気体の温度と圧力はそれぞれ自由に変化させることができます。

たとえば温度を一定にして圧力を2倍にする(体積を半分にすればよい)とか温度を2倍にして圧力を半分にするとか(体積は1/4)。
T,pがひとつの変数の関数であるとするとこのような変化はできないでしょ。

自由度が二つある以上、パラメータは二つ必要なのです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/11/16 19:07

おっと

>pとTが強制的にtのパラメータになるような
pとTが強制的にtの関数になるような

ですね。申し訳ない。