数学II

2つのベクトル↑p(1.1.-6)↑q(3.-1.-2)の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。途中式も書いてくれると助かります。

No.2 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/05 14:20

ベクトルの外積で

i……j……k
1…1…ー6
3…ー1…ー2

i・(1・(-2)ー(-1)・(-6))ーj・(1・(-2)ー3・(-6))+k・(1・(-1)ー1・3)
=i・(ー8)ーj ( 16)+k ( ー4)
=(ー8,ー16,ー4)
=ー4(2,4,1)
ここで、2^2+4^2+1^2=4+16+1=21
よって、求める単位ベクトルは、

1/√21・(2,4,1)=(2/√21,4/√21,1/√21)

ただし、マイナス値は省く

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/03 23:20

互いに垂直なベクトル同士の内積はゼロ、ということを利用すれば、求めるベクトルを ↑A(a, b, c) として

↑p･↑A = a + b - 6c = 0　　　　①
↑q･↑A = 3a - b - 2c = 0　　　　②
単位ベクトルなので
　a^2 + b^2 + c^2 = 1　　　　③

この連立方程式を解けば ↑A(a, b, c) が求まります。

やってみれば、①+②で
　4a - 8c = 0
→　a = 2c　　　　④
③に代入して
　4c^2 + b^2 + c^2 = 1
→　b^2 = 1 - 5c^2
→　b = ±√(1 - 5c^2)　　　⑤

④⑤を①に代入して
　2c ±√(1 - 5c^2) - 6c = 0
→　±√(1 - 5c^2) ＝ 4c
→　1 - 5c^2 = 16c^2
→　c^2 = 1/21
→　c = ±√(1/21) = ±√21 /21

④より
　a = ±2√21 /21
⑤より
　b = ±√(1 - 5/21) = ±√(16/21) = ±4√21 /21

よって、求めるベクトルは
　(2√21 /21, 4√21 /21, √21 /21)
　(-2√21 /21, -4√21 /21, -√21 /21)