統計学の問題です。 ある番組の世帯視聴率を推定するために、母集団(日本の全世帯)から 1875 世帯

統計学の問題です。

ある番組の世帯視聴率を推定するために、母集団(日本の全世帯)から 1875 世帯を無作為に選び調査したところ、337 世帯がその番組を視聴していた。

(1) 母集団の視聴率 p の推定値を求めよ。

(2) 母集団の視聴率 p の 95%信頼区間を求めよ。

(3) 帰無仮説 H0：p≧0.2 を、対立仮説 H1：p<0.2 に対して仮説検定を行うときの p値を求めよ。有意水準を5%とするとき、帰無仮説は棄却されるか、あるいは採択されるか。

解答がわからず困っています。
エクセルを用いた導出過程・解答をご教示頂けますでしょうか。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/01/16 00:54

(1) 推定値は、単純に

　337/1875 = 0.179733･･･ ≒ 0.1797 = 17.97%
でよいのでは？

(2) 標本視聴率が 0.1797 なので、視聴者数はこの視聴率で二項分布すると推定できます。つまり「n 世帯を調査したとき、「見た」世帯が k である確率」は
　P(n, k) = nCk * 0.1797^k * 0.8203^(n - k)

この期待値は、n=1875 ならば
　E = np = 1875 * 0.1797 = 336.9･･･ ≒ 337
分散は
　V = np(1 - p) = 1875 * 0.1797 * 0.8203 = 276.42･･･ ≒ 276

二項分布は、サンプルサイズが大きければ正規分布とみなせるので、視聴者数の95％信頼区間は
　337 - 1.96*√(276/1875) ≦ N ≦ 337 + 1.96*√(276/1875)
→　336.25 ≦ N ≦ 337.75

従って、視聴率では
　　0.1793 ≦ p ≦ 0.1801
　（17.93% ≦ p ≦ 18.01%)

(3) 帰無仮説：H0：p≧0.2 として、p=0.2 と仮定すると
二項分布は
　P(n, k) = nCk * 0.2^k * 0.8^(n - k)
n=1875 に対する期待値は
　E = np = 1875 * 0.2 = 375
分散は
　V = np(1 - p) = 300

この分布に従った場合の視聴者数の95%信頼区間は
　375 - 1.96 * √(300/1875) ≦ N ≦ 375 + 1.96 * √(300/1875)
→　374.2 ≦ N ≦ 375.8

調査から得られた「337」はこの範囲に入らない。
p>0.2 であれば、信頼区間はさらに上に移行するので、p≧0.2 と仮定した場合には「337」というデータが得られるのは95％の信頼度で有意である。

従って、帰無仮説「H0：p≧0.2 」は棄却され、対立仮説「p<0.2」が採用される。


＞エクセルを用いた導出過程・解答をご教示頂けますでしょうか。

エクセルなど使う必要はありません。
正規分布の一般的な知識があればできるはず。

強いて言えば、二項分布で p=0.2 のときに N≦337 になる確率をエクセル関数「BINOM.DIST.RANGE」を使って
　=BINOM.DIST.RANGE(1875,0.2,0,337)
で求めれば
　0.014351
となります。これが通常の検定でいうところの「p値」で、p=0.015351 < 0.025 （片側検定）なので「有意である」として帰無仮説は棄却されます。