コンデンサーに誘電体を入れた場合

平行平板コンデンサーに誘電体を満たした場合の容量は分かるのですが、それでは平行平板コンデンサー内に一様に厚さ方向の何分の一かだけを誘電体にした場合（例えば平行平板の片側に誘電体を塗るとか）の容量はどうなるのでしょうか？その際蓄えられる静電エネルギーは？なるべく詳しく教えて頂きたいです。

No.1 回答者： gator 回答日時： 2001/07/25 21:15

コンデンサを直列に繋いだ場合、全体の容量はC=1/(1/C1+1/C2)ですよね。

面積Sが同じで間隔がd1とd2のコンデンサを直列に繋ぐとC=ε0S/(d1+d2)ですよね。
面積S、間隔d、誘電率ε0のコンデンサの間に面積S厚みゼロの金属を挿入します。
位置は一方の電極からd1、もう一方からd2、当然d1+d2=d
この場合、容量はd1のコンデンサとd2のコンデンサの直列と考えて全体の容量は
C=ε0S/(d1+d2)=ε0S/d、つまりもとと変わりません。
さて、前置きが長くなりましたが、上でd1を誘電体ε1で満たしたとすると、結局
C1=ε1S/d1とC2=ε0S/d2の直列と考えれば良いので、C=ε0ε1S/(ε0d1+ε1d2)
となります。・・・(答)
ついでに、挿入する誘電体が全面ではなく、一部だったら、、、
簡単のために今度は厚み方向は全部を満たすとして、S=S1+S2だったら、コンデンサ
の並列で考えれば良いだけです。
最後に面積S1、高さd1の誘電体を挿入したら、、、S=S1+S2、d=d1+d2
として、まず(ε0,S1,d2)と(ε1,S1,d1)を直列につなぎ、それと(ε0,S2,d1)
を並列に繋げば良い事になります。

No.2 回答者： tnt 回答日時： 2001/07/25 21:49

コロナ社の演習問題にあったような.......

回答は下の方を御覧下さい。

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/07/25 23:04

レポート問題のようなのでヒントだけ．

コンデンサーの極板に与える電荷Ｑを決めたとします．

○ 電束密度Ｄは誘電体があってもなくても同じ．
○ Ｄがわかれば電場Ｅがわかる
○ Ｅがわかれば電位差Ｖがわかる．
○ Ｖがわかれば，容量Ｃがわかる．
○ Ｖ，Ｃがわかれば静電エネルギーがわかる．
○ 電場に静電エネルギーが蓄えられているという考えでも静電エネルギー
　　は計算できる．

No.4 回答者： noname#2380 回答日時： 2001/07/26 00:42

平行平板は無限に広がっており、平板間の電場は一定と見なせると言う理想条件で考えます。

平行平板間には、誘電率εの誘電体が詰まっているとします。
以上の条件で静電エネルギーを考えます。
div(D)=ρ　　（１）
の式を使ってもいいのかなぁ～？この式を使っていいなら、一方の平行平板を含む領域（底辺の面積がδAの円筒状の領域をイメージしています）で(1)式を積分し、平板が無限大であることから、電場の成分が、平板面に垂直方向しかないことがわかります。面積あたりの電荷密度がσとすると、平行平板を形成する金属内では電場が0と言うことに注意すれば、
ε*E*δA=σ*δA (2)
ここでδAは面積素片
（２）式より平行平板間の電場がE=σ/εと求まります。
このようにして、平行平板間の電場を求め、平行平板間で電荷を少しづつ移動させ最終的に電荷がQとするのに必要な仕事が静電エネルギーとなるという求めます（W=∫E*q dl)。高校物理の範囲で考えるとこのような導出方法は掟破りとなりますのでやめます。
****************************************************************
****************************************************************
やはり高校物理の範囲で説明しようとすると、
平行平板間の電圧がV、平行平板間のコンデンサ（容量）がCの時、平行平板の電荷Qは
Q=C*V (3)
で与えられるという物理関係式と
電圧Vのとき、電荷Qに対する仕事は
V*Q
で与えられることを基礎に導出します。
容量Cに電荷が
(1)0
(2)Q/N
(3)2*Q/N

～
N*Q/N


とQ/N毎に電荷を平行平板間で移すことを考えます。
仕事は、電圧*電荷で与えられますので、
(1)での仕事は、(0*Q/N/C)*Q/N
(2)での仕事は、(1*Q/N/C)*Q/N
(3)での仕事は、(2*Q/N/C)*Q/N
～
最後の電荷の移動での仕事は、(N*Q/N/C)*Q/N

よって全仕事は
Σ 　　(k*Q/N/C)*Q/N=Q*Q/C/N/N*(N)*(N+1)/2=Q*Q/C/2=0.5*C*V*V (4)
k=0～Ｎ
(4)式で求められた仕事が静電エネルギー（コンデンサのエネルギー）として蓄えられます。

W=0.5*C*V*V
とNo1のgator氏の導出されたCを代入すれば静電エネルギーが求まります。
大学レベルでの導出はsiegmund氏のヒントを元に計算していただければよいかと思います。
電圧Vは電位差と記述した方がgoodだったかも。
誤記、誤解がありましたらゴメンナサイ。