aは定数とする。関数y=2x^2-4x-1(a≦x≦a+1)の最大値を求めよ。の解き方が分かりません

aは定数とする。関数y=2x^2-4x-1(a≦x≦a+1)の最大値を求めよ。の解き方が分かりません。
解説も入れてくださると助かります。お願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/27 01:09

関数 f(x)=A(x-B)^2+C の

p≦x≦q での最大最小を考える問題は、
二次関数の問題の類型にして典型です。
放物線 y=f(x) と区間 [p,q] の位置関係を、
自分で一度整理しておいたほうがいいです。
一回きちんと分類しておくと、
問題で出会ったときに混乱しないですみます。

必要な場合分けは、
(1) 放物線の軸が区間より右にある q≦B の場合
(2) 放物線の軸が区間内の右半分にある (p+q)/2≦B≦q の場合
(3) 放物線の軸が区間内の左半分にある p≦B≦(p+q) の場合
(4) 放物線の軸が区間より左にある B≦p の場合
です。それぞれの場合の、
y=f(x)のグラフを書いてみてください。
その４つのグラフが目に焼き付いているといい。

(1)の場合、最大値が f(p) で最小値が f(q)、
(2)の場合、最大値が f(p) で最小値が f(B)、
(3)の場合、最大値が f(q) で最小値が f(B)、
(4)の場合、最大値が f(q) で最小値が f(p)
であることが確認できると思います。

この問題に当てはめると、
y=f(x)=2(x-1)^2-3, [p,q]=[a,a+1] なので
(1) a+1≦1 の場合、最大値が f(a) で最小値が f(a+1)、
(2) a+1/2≦1≦a+1 の場合、最大値が f(a) で最小値が f(1)、
(3) a≦1≦a+1/2 の場合、最大値が f(a+1) で最小値が f(1)、
(4) 1≦a の場合、最大値が f(a+1) で最小値が f(a)
となります。

式を整理すれば、
a≦0 の場合、最大値が 2a^2-4a-1 で最小値が 2a^2-3、
0≦a≦1/2 の場合、最大値が 2a^2-4a-1 で最小値が -3、
1/2≦a≦1 の場合、最大値が 2a^2-3 で最小値が -3、
1≦a の場合、最大値が 2a^2-3 で最小値が 2a^2-4a-1
です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！┏●

お礼日時：2019/01/27 10:42

No.1 回答者： kurokurosun 回答日時： 2019/01/26 21:22

y=2x^2-4x-1は、どんな図になるでしょう？

頂点は？どんな二次曲線？

図を描いてみましょう。

そして、yが最大となるのは、aの時、またはa+1の時のどちらかになると思います。
場合分けが必要ですね。たぶん。

図を描くと判りやすいと思います。
がんばってみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます！┏●

お礼日時：2019/01/27 10:43