直線の方程式とかの係数が法線ベクトルになる理由がよく分かりません

直線の方程式というとax+by+c=0, 平面の方程式というとax+by+cz+d=0ですが、
このときの(a,b)というベクトルや(a,b,c)というベクトルがなぜ法線ベクトルになるのでしょうか？
以下は(a,b)や(a,b,c)といったベクトルをkと書きます。
kと法線ベクトルが平行ならば確かに垂直になってくれるのは確認しました(後述)。しかし、法線ベクトルはkに平行でないものでも構わないという可能性はどのように否定できるのでしょうか？

ベクトル方程式　k・x+c＝0 (kとxはベクトル,cは実数)のxの解で表される図形C、
適当な点A、そこから図形Cに下ろした垂線の足を点Hとします。
垂直という定義から、図形Cの中からどんな点Pを持って来ても　→AH・→HP=0　が成り立たなければいけません。
k//→AH　ならばたしかにPに関わらず　→AH・→HP=0　が成り立つことを確認しました。しかし、k//→AH　でないどのようなHも　→AH・→HP=0　を常には満たさないということはどのように言えますか？

蛇足ですが、この疑問は点と直線の距離の公式の導出で湧いてきました。
上記の点Hは図形C上にあることより、
k・→OH+c=0　⇔
k・→OA+k・→AH+c=0　⇔
k・→AH=-(k・→OA+c)　⇒
|k・→AH|=|k・→OA+c|
とここまでは出来て、|k・→AH|=|k|×|→AH|が示せれば
|k・→AH|=|k|×|→AH|=|k・→OA+c|　⇔(|k|≠0において)
|→AH|=|k・→OA+c|/|k|
となってめでたく示せると思ったのですが、kと→AHが平行である理由が説明できないので躓きました。

質問者からの補足コメント

• 一番求めていたものに近いです！本当に当たり前のことを忘れていました。
  しかし一つだけ気がかりなのですが、どのような定義に依拠して考えていけば任意のn次元面で法線は唯一だと示せるのでしょうか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/02/13 16:38

No.8 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 16:50

n次元のベクトル空間において、2次元部分空間を平面、

n-1次元部分空間を超平面と呼びます。
例えば、直線は平面における超平面です。

超平面の直交補空間は1次元空間となるので、
一次独立なベクトルをひとつしか持ちません。
そのベクトルが、超平面の法線ベクトルです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。キーワードが分かったので線形代数ちゃんと勉強しようと思います。

お礼日時：2019/02/13 17:11

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/13 15:49

＃４です。

PCの誤操作で意図しない物が投稿されてしまいましたので＃４は気にしないでください

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 15:49

いや、計算する話じゃないって。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/13 15:47

＃１，２さらに補足

質問の直線の式は平面の物です、これに垂直なベクトルは図を書けばt(a,b)しかないことは明らかです
つまりk=(ta,tb)しかありえないという事
このとき直線とベクトルの内積は
(ta,tb)・(x-m,y-n)=ｔa(x-m)+ｔb(y-n)=0ですがk=(a,b)とした時と同じで
ax+by-am-bn=0を得ます。
すなわち、ax+bx+cに垂直なベクトルt(a,b)を代表して法線ベクトルは(a,b)

ただ、直線が空間にある場合なら話は別。図を書けば分かる通り直線に垂直なベクトルは、直線を軸に360度あらゆる方向に存在します。

また、平面の場合でも図を書けばそれに垂直なベクトルはt(a,b,c)しかないことは明らかです。
これらの代表が(a,b,c)です。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/13 15:35

＃１，２さらに補足

ご質問の直線の式は平面の物です、これに垂直なベクトルは基本的に(a,b)と逆方向の2つしかないのは図を書けば明らかですよね
もちろんｔ倍にしたベクトル(ta,tb)も垂直ですが
内積(a,b)・(x-m,y-n)=a(x-m)+b(y-n)=0が
(ta,tb)・(x-m,y-n)=ta(x-m)+tb(y-n)=0になって両辺tで割れば結局(a,b)のときと同じになります。
結局t=-1を含めてtがいくつのときでも(ta,tb)・(x-m,y-n)=ta(x-m)+tb(y-n)=0から得られる直線の方程式は１つです
つまり、ax+by+c=0において,(a,b)が法線ベクトルの代表という事
なお空間における直線なら、それに垂直なベクトルは１つではないことが図から明らかです。

また、平面に垂直なベクトルも図を書けばt(a,b,c)以外にないことは明らかですよね

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/13 15:33

＞しかし、法線ベクトルはkに平行でないものでも構わないという

＞可能性はどのように否定できるのでしょうか？

法線ベクトルは、スカラー倍を除けば唯一である。
という幾何学の知識によって否定されます。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/13 15:11

＃１補足から

質問者さんは→kを法線ベクトルと呼んでいると勘違いしてしまいました！
＃１の→ｋは法線ベクトルを表わしますので念のため（普通は法線ベクトルには→nを用います）

次に平面の方程式について
直線のときと同様平面上の動点をP(x､y､z)とするとこの動点Pが方程式、ベクトル方程式を満たす範囲を動き回った時にできる軌跡が平面になっているということです。
具体的には定点A(l,m,n)を通り、0ベクトルでない→n=(a,b,c)に垂直な平面上を動く動点をP(x,y,z)とすると
→AP⊥→ｎだから内積は、→AP・→n=0
これは平面を表すベクトルの方程式
→AP=(x-l,y-m,z-n)だから直線のときのように内積を成分で書きかえれば
(x-l,y-m,z-n)・(a,b,c)=a(x-l)+b(y-m)+c(z-n)=0
これは平面を表す方程式（無論、ベクトル方程式と方程式は同じ平面を表わしていて、動点Pが動き回ることが出来る平面のことである）
この方程式の定数項をdとすればax+by+cz+d=0で、この平面に垂直なベクトルはこの回答を逆順に見て→n=(a,b,c)となります。

これらのことから、質問後半のような検証を試みずとも法線ベクトルは(a,b)ないし(a,b,c)であることが分かると思います。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/13 14:47

質問の前半を主に読んだのですが

座標平面上に定点Aを取ります。
また0ベクトルでないベクトル→kに垂直でAを通る直線をgとし、ｇ上を動く動点をPとします
するとPがｇ上のどこにある場合でも→kと→APは垂直ですから内積を取れば
(→k)・(→AP)=0
位置ベクトルにすれば(→k)・{(→p)-(→a)}=0…①
となります。このベクトル方程式が表すPの位置は転々と変わりますが、その軌跡が直線gを描くので①は直線を表します。
この動点の座標を変数ｘ、ｙを用いてP(x､y)、定点は定数m,nでA(m,n)と表し、また、法線ベクトルの成分を→k=(a,b)とすればこれらの文字を用いて①を成分で書きなおせば
(→p)-(→a)＝(x､y)-(m,n)=(x-m,y-n)だから
(a,b)・(x-m,y-n)=a(x-m)+b(y-n)=0
⇔ax+by-am-bn=0
ここで-am-bn=cとおけば
ax+by+c=0が得られます。
このとき、k(a,b)を直線の法線ベクトルと呼びますよね
これを逆順にたどれば、ax+by+cに垂直なベクトル（法線ベクトルは）はk(a,b)と言えます
なお、直線の方程式の(x,y)も直線のベクトル方程式の(x,y)も同じ動点P(x,y)を示していて
両者ともPの軌跡が直線ｇであるという事です。

平面についてはこの後投稿します