この問題の解答教えて下さい 積分の形で表された非同次方程式の一般解の公式でとこうとしたら、積分が解け

この問題の解答教えて下さい
積分の形で表された非同次方程式の一般解の公式でとこうとしたら、積分が解けませんでした。積分の解き方をできれば詳しくおしえてほしいです

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2019/02/24 04:13

(1) y' + y/x = 1/(1+x²)

常数変化法
y = (1/2)*log(1+x²)

(2) (√xy - x)y' = -y
同次形
y*exp(2√(x/y)) = 1/C

計算ミスってなければ・・!

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2019/02/24 05:07

ANo.1・・!

ちと訂正・・!

(1) y = (1/x)*{(1/2)*log(1+x²) + C}　　C：積分常数
(2) y*exp(2√(x/y)) = 1/C　　　　　　　　C：積分常数

この回答へのお礼

（2）の解き方の方針？みたいなの教えてもらっていいですか？
何度もすいません

お礼日時：2019/02/24 15:06

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/24 14:45

その「積分の形で表された非同次方程式の一般解の公式」

というのは、1階非同次線型微分方程式の一般解、
dy/dx = f(x)y + g(x) の解が
y = e^(∫f(x)dx)∫{g(x)e^(-∫f(x)dx)}dx だってやつ
のことかなあと思うんだけれど、そうですか？

その式は、受験数学でいう公式のようなものではないんです。
ある種の(1階非同次線型の)微分方程式の解が、既知関数の
積分を使って表示できることを示していることに意義があって、
ただ解の存在を示すだけの「解の存在定理」よりも
一歩踏み込んでいる。むしろ、右辺の積分記号が解消できない
ような場面で価値がある式であって、「公式」として使って
解を求めようというものではありません。

微分方程式は、式から積分記号が消せるかという意味では
やたらに「解ける」ものではないので、たまたま「解ける」
ような方程式のタイプを分類して、それに合った解法で
「解く」ことができるだけです。
具体的な解は、No.1 さんのようにするのがよいと思います。

(1)は、1階非同次線型微分方程式なので、
上記の式を当てはめることはできます。

dy/dx + y/x = 1/(x^2+1) は
f(x) = -1/x, g(x) = 1/(x^2+1) で上式と一致するので、
「公式」を適用して

∫f(x)dx = ∫(-1/x)dx = -log(x) + C　(Cは定数)

e^(∫f(x)dx) = e^(-log(x) + C) = A/x　(A=e^Cは定数)

∫{g(x)e^(-∫f(x)dx)}dx = ∫{(1/(x^2+1))/(A/x)}dx
= (1/2A)∫{2x/(x^2+1)}dx = (1/2A)log(x^2+1) + B　(Bは定数)

y = e^(∫f(x)dx)∫{g(x)e^(-∫f(x)dx)}dx
= (A/x){(1/2A)log(x^2+1) + B}
= (1/2x)log(x^2+1) + D/x　(D=ABは定数)

(2)は、このタイプの微分方程式ではないですね。

この回答へのお礼

ありがとうございます
微積分の勉強始めたばっかだったので、詳しくおしえていただいてとても助かりました

お礼日時：2019/02/24 15:04

No.4 回答者： Ae610 回答日時： 2019/02/24 16:03

ANo.1&2・・!

(2)
y = xu とでも置いてみる・・!

この回答へのお礼

ありがとうございます
やってみます

お礼日時：2019/02/24 16:13