(3)の答えを教えてください

(3)の答えを教えてください

No.3 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/18 17:09

失礼しました。

No.2 の結果は計算ミスです。お詫びして訂正します。
・・・
r*cos(θ-φ)=1, r*cos(θ-φ-pi/3)=1/2, r*cos(θ+φ)=1/4. が正しい式です。
これらより、sin(θ-φ)=0 が得られ、θ＝φ、となり、r=1, cosθ=√(3/8), sinθ=√(5/8).
以上より、
z[0]=√(3/2)+√(5/2)*i.
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※円の中心は、α=z[0]/2, 半径は１です。

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/04/18 09:36

z[0]=2*e^(iθ) と書くと、

z[1][=(1/2)*e^(-pi*i/3)*z[0]=e^{(θ-pi/3)*i}, z[2]=-1/z[0]=(1/2)*e^(pi-θ)*i}, ですから、
これら３点とOが同一円周上にある条件、
|z[k] - α|=|α|, (複素数αを表す点は円の中心) ⇔ |z[k]|^2=2*Re{conj(α)*z[k]}, (k=0, 1, 2)
を満たします。(conj(z)...zの共役複素数)
α=r*e^(i*φ),(r>0,0≦φ<2pi)として、これから以下の３式が得られます。
r*cos(θ-φ)=2, r*cos(θ-φ-pi/3)=1, r*cos(θ+φ)=1/2.
これらより、sin(θ-φ)=0 が得られ、θ＝φ、となり、r=2, cosθ=√(5/8), sinθ=√(3/8).
以上より、
z[0]=√(5/2)+√(3/2)*i.
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※計算ミスがあるかもしれません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/04/18 02:12

z0 = 2e^iθ,

z1 = (1/2)(e^-iπ/3)2e^iθ = e^i(θ-π/3) = cos(θ-π/3) + i sin(θ-π/3),
z2 = -(2e^iθ) = (1/2)e^i(π-θ) = (1/2){ cos(π-θ) + i sin(π-θ) } = (-1/2)cosθ + i(1/2)sinθ.

O, P0, P1, P2 が x+iy から等距離にあるとすれば、
x^2 + y^2 = (x - 2cosθ)^2 + (y - 2sinθ)^2,
x^2 + y^2 = (x - cos(θ-π/3))^2 + (y - sin(θ-π/3))^2,
x^2 + y^2 = (x - cos(θ-π/3))^2 + (y - sin(θ-π/3))^2 = (x + (1/2)cosθ)^2 + (y - (1/2)sinθ)^2.
整理して、
x cosθ + y sinθ = 1,　…[1]
x cos(θ-π/3) + y sin(θ-π/3) = 1/2,　…[2]
- x cosθ + y sinθ = 1/4.　…[3]
[1][3]より
x = 3/(8cosθ),
y = 5/(8sinθ).
これを[2]へ代入して、
3(sinθ)cos(θ-π/3) + 5(cosθ)sin(θ-π/3) = 4(sinθ)(cosθ).
(2√3)(sinθ)^2 - (2√3)(cosθ)^2 = √3/2.
cos(2θ) = -1/4.

0 < θ < π/2 より 0 < sinθ < 1, 0 < cosθ < 1 だから、
2(cosθ)^2 - 1 = -1/4 を解いて cosθ = √(3/8),
1 - 2(sinθ)^2 = -1/4 を解いて sinθ = √(5/8).　　あ、なんか回りくどいことやった。ま、いいか。

z0 = 2(cosθ + i sinθ) = 2{(√6)/4 + i(√10)/4} = (√6 + i√10)/2.