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微積

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質問者：koji25
質問日時：2019/05/05 18:32
回答数：5件

微分積分学の基本定理の図形的な意味が理解できません
なぜ曲線の傾きの曲線の面積がもとの曲線なのでしょうか?

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回答 (5件)

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No.5ベストアンサー

回答者： konjii
回答日時：2019/05/07 07:21

df(x)/dx*dx=df(x)=df(x)はなぜですか?

df(x)/dxはdf(x)÷ｄｘのこと
df(x)/dx*dxは（df(x)÷ｄｘ）ｘｄｘのこと
分母のｄｘと分子のｄｘが約分されて、残るのはｄf(x)です。
∫ｄｘ＝ｘと同じく∫ｄf(x)=f(x)です。

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No.4

回答者：ありものがたり
回答日時：2019/05/06 22:14

誤字があまりに多かったので、訂正します。

すみませんでした。

y = f(x) と x軸と x=a と x=t で囲まれた面積は ∫[a,t]f(x)dx ですが、
t を t+h へ微小変化させたときの変化の割合は、
y = f(x) と x軸と x=t と x=t+h で囲まれた細長い図形の面積を h で割ったものです。
h が小さいと f(t) ≒ f(t+h) なので、細長い図形はほぼ長方形とみなせて、
変化の割合はこの長方形の高さ f(t) になります。
このことは、(d/dt)∫[a,t]f(x)dx = f(t) を図形的に説明していると思います。

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No.3

回答者：ありものがたり
回答日時：2019/05/06 16:54

微分が曲線の傾きだというときの曲線と

積分が曲線の面積がというときの曲線は、異なる曲線です。
y = f(x) という曲線の x での傾きが f’(x) であり、これに対して
y = f’(x) という曲線の a〜x での面積が f(x)-f(a) になります。
曲線 y = f(x) を見て導関数の曲線 y = f’(x) を描くことが
図形的に直感的な操作ではないので、あなたの期待する
微分積分学の基本定理の図形的な解釈は、そもそも無理がありそうです。

条件を少し緩和して、微分のほうを傾きではなく変化の割合と捉えると、
積分のほうの図で説明はできそうです。
y = g(x) と x軸と x=a と x=t で囲まれた面積は ∫[a,t]f(x)dx ですが、
t を t+h へ微小変化させたときの変化の割合は、
y = g(x) と x軸と x=a と x=t+h で囲まれた細長い図形の面積を h で割ったものです。
h が小さいと f(t) ≒ f(t+h) なので、細長い図形はほぼ長方形とみなせて、
変化の割合はこの長方形の高さ f(t) になります。
このことは、(d/dt)∫[a,t]f(x)dx = f(t) を図形的に説明していると思います。
直感的説明なので、極限の扱いがガバガバですが。

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この回答へのお礼

曲線 y = f(x) を見て導関数の曲線 y = f’(x) を描くことが
図形的に直感的な操作ではないので、あなたの期待する
微分積分学の基本定理の図形的な解釈は、そもそも無理がありそうです。<<
たしかにそうですね

条件を少し緩和して、微分のほうを傾きではなく変化の割合と捉えると、
積分のほうの図で説明はできそうです。
y = g(x) と x軸と x=a と x=t で囲まれた面積は ∫[a,t]f(x)dx ですが、
t を t+h へ微小変化させたときの変化の割合は、
y = g(x) と x軸と x=a と x=t+h で囲まれた細長い図形の面積を h で割ったものです。
h が小さいと f(t) ≒ f(t+h) なので、細長い図形はほぼ長方形とみなせて、
変化の割合はこの長方形の高さ f(t) になります。
このことは、(d/dt)∫[a,t]f(x)dx = f(t) を図形的に説明していると思います。<<
なるほど

直感的説明なので、極限の扱いがガバガバですが。<<
詳しくはε-δ論法使うんですかね...