兵庫・甲陽学院高校の問題です。 自然数kが与えられたとき、√(n^2-10^k)が整数になるような自

兵庫・甲陽学院高校の問題です。

自然数kが与えられたとき、√(n^2-10^k)が整数になるような自然数nを考える。
k=3のとき、nの値をすべて求めると、n=[ ]である。
k=4のとき、nの値の個数は[ ]個である。[ ]にあてはまる数を求めなさい。

中学範囲で、おしえてください。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/09 17:21

＃３　補足

後半は積をすべて考えるのは大変
そこで、10000=○x△（○>△）のうち○、△共に偶数でなければならないことを利用すると少し楽
10000=2x2x2x2x5x5x5x5＝(2x2x2x5x5x5)x(2x5)　などだから
４つの２のうち二つはあらかじめ○と△に配当しておくと、○も△も偶数になる
すると10000=(2x□)x(2x●）の□●に、２二つと５四つを分割することになる
□　　　ー　　　●
555522ー　配当無し　このとき(m+n,m-n)=(5000,2)
55552　－　2　　　　このとき(m+n,m-n)=(2500,4)
5555　　ー　２２
5552　 　ー　５２
・
・
というように●への配当分を順番に大きくしていく方法が何通りあるかしらべると　それがそのまま[]の答えとなります。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/09 17:12

√(n^2-10^k)＝整数なら、(n^2-10^k)＝(整数)²≧０

n^2-10^k≧０
ｎ^2≧10^k
k=3のとき、nの値をすべて求めると、n=[32以上]である。
k=4のとき、nの値の個数は[ｋ＝３の時より少なく、その少ない個数は６８ ]個である。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/09 17:04

K=3のとき mを整数とすると

√(n^2-10^k)=√(n^2-1000)=mとなるという事
つまり√(n^2-1000)=√m²になるという事
√の中身同士が等しいから
n^2-1000=m²
⇔n²-m²=1000
⇔(n+m)(n-m)=1000　（当然ながらn+mのほうがn-mより大きい）
ここで、1000=2x2x2x5x5x5だから
1000=1000x1=500x2=250x4=200x5=125x8＝100x10=50x20=40x25＝25x40=20x50・・・だから
n+mとn-mの組み合わせとして考えられるものは
(n+m=1000,n-m=1) ・・・連立方程式を解いて、n=500.5だからこれを満たす整数m,nはない
同様に
(500,2)→n=251,m=249 OK
(250,4)→n=127,m=123 Ok
(200,5) →整数ではない
(125,8)→整数でない
(100,10) ok
(50,20) OK
(40,25) NG
(25,40)以降は、n+mのほうがn-mより大きい　ということに反するから考える必要なし
これらOKの組み合わせのときのnを全て計算すれば第一の[]の答え

k=４のときも同様に
√(n^2-10^k)=√(n^2-10000)=m
⇔(n+m)(n-m)=10000
10000=2x2x2x2x5x5x5x5
10000=10000x1=5000x2=2500x4・・・から
n+mとn-mの組み合わせの候補を絞る
前のn,mを求める段階で気が付くことは、n+mとn-mともに偶数のときしかn,mが整数にならないという事
10000=10000x1=5000x2=2500x4・・・のうち、2数とも偶数で、掛ける数の方が小さいものの個数だけ
ｎがあるという事　→これが2番目の答えにつながります

No.2 回答者： Kalack 回答日時： 2019/05/09 16:59

中学範囲がわからないので普通にとく。

(k=3)自然数 a を考える。
a = √(n^2-1000) 両辺二乗
a^2 = n^2 - 1000 適当に移項
n^2 - a^2 = 1000 因数分解
(n-a)(n+a)=1000
ここでn-aとn+aは整数かつn+a>n-a>0になっていることを考えると。1000になる組み合わせは
(n-a,n+a) = (1,1000),(2,500),(4,250),(5,200),(8,125),(10,100),(20,50),(25,40)
あとは連立してn,aが整数にならなかったものを除いて
n=251,127,55,35

(k=4)
途中まで同じ
(n-a)(n+a)/10 = 1000
あとは上の組み合わせで10で割れるもの割って終わり

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2019/05/09 16:58

k=３の時、

n²-1000＝ｍ²
n²-m²=1000
（ｎ+ｍ）（ｎ-ｍ）＝1000
1000を素因数分解して、、、該当するn,mを探していくってことかな。
1ｘ1000　該当n,mなし
2ｘ500　　ｎ+m=500 n-m=2 ということになるなら、　2ｎ＝502　n=251, m=249
4ｘ250
5ｘ200
8ｘ125
10ｘ50
20ｘ25
みたいにやっていけばできるでしょう。　

ｋ＝4の時は
k=３をやる時点で、
ｎ+ｍが偶数になる時は回答があるというようなパターンを見つけ出せれば、素因数分解の組み合わせ数を見つけることができるはず。

あとは、やってみてください。