youtube「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう Vol 9」の中で分からない点があります

youtubeの動画「中学生の知識でオイラーの公式を理解しよう　Vol 9」

の中で分からない点があります。

上記のURLは、e^x（eのx乗）や三角関数をxの多項式で表し、次にx=iθを代入するという流れで、
19分45秒辺りで、e^xのxにiθを代入していますが、
22分辺りでは、cos xのxにiθでなく、θを代入しています。これはなぜでしょうか？
e^xにiθを代入するなら、cos xにもiθを代入するはずです。

また、θを代入しているのに、結果として証明ができているのも理解できないところです。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 等式の左右でxの値がiθとθで異なると、等式にならないと考えました。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/11 00:28

• 関数が違うというと、例えばf(x)=g(x)でしょうか。
  やはり、xには同じもの（iθ）を代入するのではないでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/11 00:46

• 詳しくありがとうございます。
  
  自分の理解が足らないところを補うように書くと、
  P=e^x - cos y - isin z
  と置いて、x=iθ、y=θ、z=θの場合を考えると、P=0になる
  でいいでしょうか。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/05/11 10:53

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/11 00:23

>e^xにiθを代入するなら、cos xにもiθを代入するはずです。

何故?
そう考える根拠は?

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/11 00:39

>等式の左右でxの値がiθとθで異なると、等式にならないと考えました。

関数が違うのに？
全然根拠になってません。

まずはしっかりと式と追いましょう。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/11 03:08

＞e^xにiθを代入するなら、cos xにもiθを代入するはずです。

に根拠が無いなあ。

e^iθ と cosθ と sinθ の間に関係式が見つけたいから、
それぞれを θ の冪級数で書いてみて、それを比較したのでしょう？
e^iθ と cosθ と sinθ が作れなかったら意味ないじゃありませんか。
cos(iθ) を作る理由って何なんです？ そんなもの必要無いです。

e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + (1/6)x^3 + (1/24)x^4 + ... に x = iθ を代入して
e^iθ を θ の冪級数にしたことと、
cos x = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + ... に x = θ を代入して
cosθ を θ の冪級数にしたことの間には、直接の関係はありません。
別々の関数に別々の値を代入しただけ。
f(x) =2^x,
g(x) = 3x -5 のときに
f(1) = 2,
g(2) = 1 と計算するのと同じことです。
f(x) と g(x) に違う x を代入したといって文句言われる筋合いはありませんよね。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/11 13:31

←No.3補足

いいです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。疑問が解けました。

tknakamuriさんもありがとうございました。

お礼日時：2019/05/12 11:06