|r−3|<√13 はなぜ −√13<r−3<√13 と変形できるのですか？

|r−3|<√13 はなぜ −√13<r−3<√13 と変形できるのですか？

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/05/11 13:00

考え方１（機械的な変形方法）

絶対値も、√○も＋の数です。
不等式の両辺が＋の数同士なら　、両辺2乗しても大小関係は変らないから
(r-3)²<√13²
r-3=Mとおけば」
⇔M²-√13²<0
⇔(M+√13)(M-√13)<0 ・・・因数分解公式a²-b²=(a+b)(a-b)の利用
⇔-√13<M<√13　・・・2次不等式の解き方参照
Mを戻せば−√13<r−3<√13

その２
絶対値の意味を考えた物
r-3=Mとおく
すると|M|<√13
ここでM（M軸）についての数直線をイメージ！
絶対値とは原点（０）からの距離の事
だから仮に|M|=√13なら　Mの位置は０からの距離が√１３となります。
そのような点は2点ありそれらは√13と-√13だから
Mの位置もM=√13またはM=-√13を満たさなければいけません。
これを念頭に、|M|<√13ならば、M=√13またはM=-√13の場合よりMは０に近くなければならないという事になるので
-√13<M<√13（−√13<r−3<√13）
ということになります。

No.2 回答者： ぁあぁ 回答日時： 2019/05/11 13:43

r(実数と仮定)について場合分けを行い

(r≧3の時)
絶対値の中身が0以上のため
そのまま絶対値が外れ
r-3<√13
となり
(r<3のとき)
絶対値の中身が今度は負のため
-(r-3)<√13
というように絶対値が外れ計算すると
r-3>-√13
したがって
-√13<r-3<√3

いかがでしょうか

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2019/05/11 13:46

|a|<b と云う式は a≧0 のときは a<b 、a<0 のときは -a<b → a>-b ですよね。

つまり、r-3≧0 のときは r-3<√13 ・・・① 、
r-3<0 のときは -(r-3)<√13 →　r-3>-√13 ・・・② 。
①、② を合わせて -√13<r-3<√13 。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/11 20:24

|A| とは、常に 0 ≦ |A| ですから、

　0 ≦ A のとき |A| = A ≧ 0
　A ≦ 0 のとき |A| = -A ≧ 0
というふうに「絶対値を外せる」ことが分かっていますか？
「絶対値」とその「中身」の関係です。

これを適用すれば
・0 ≦ r − 3 のとき
　|r - 3| = r - 3
なので
　0 ≦ r − 3 < √13　　　　①

・r − 3 ≦ 0 のとき
　|r - 3| = -(r - 3)
なので
　0 ≦ -(r - 3) < √13
→　0 ≧ r - 3 > -√13　　　②

①と②を合わせれば
　-√13 < r - 3 < √13
です。