ε-δ論法についてです。 関数 f(x) と実数 a,b に対して，「f(x) が x → a て

ε-δ論法についてです。

関数 f(x) と実数 a,b に対して，「f(x) が x → a で b に収束する，つまり lim f(x) (x→a)= b」というのは，以下が成り立つことと定義する:

∀ε>0 ,∃δ(ε)>0
0<|x−a|<δ(ε) ⇒ |f(x)-b|<ε

これについて質問なんですが、例えば「δは存在するにはするけど大きな値しか取れない」となるとき、破綻しませんか？

δは存在するがその値は大きい場合、x→aとならずマズイ気がします。

質問者からの補足コメント

• みなさん、ありがとうございました！
  おかげさまで理解できました。

    補足日時：2019/05/15 23:59

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/14 19:17

∀ε>0 ,∃δ(ε)>0

0<|x−a|<δ(ε) ⇒ |f(x)-b|<ε
が成り立つとき
0<δ'<δ(ε)
となるような
どんな小さなδ'に対しても
0<|x−a|<δ'
となるような
どんな
xに対しても
0<|x−a|<δ'<δ(ε)
だから
0<|x−a|<δ(ε)
だから
|f(x)-b|<ε
が
成り立つ
から

δが1つでも存在すればそれより小さい
0<δ'<δ
となるすべてのδ'に対して
0<|x−a|<δ'<δ→|f(x)-b|<ε
が成り立つ
から
δは大きな値しか取れないことはありえません

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/14 22:27

どう破綻するか考えてみましよう。

f(x)が極限をもつのに、xがaに限りなく近づくのは必須ですか？

f(x)=3 で Iim[x→1]f(x)=3は誤り?

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/15 09:58

例えば「δは存在するにはするけど大きな値しか取れない」となるとき、破綻しませんか？

破綻します。
だから、破綻しないように任意のε>0に対しεの関数δ(ε)>0 を定義しています。
そうすると、f(x) が x → a で b に収束する，つまり lim f(x) (x→a)= bといった表現は必要なくなります。

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/05/15 23:29

>例えば「δは存在するにはするけど大きな値しか取れない」となるとき、破綻しませんか？

そんなことありえますか?

ε>0に対して条件を満たすδ(ε)>0が存在すれば、任意の0<δ'<δ(ε)に対して
0<|x-a|<δ'⇒|f(x)-b|<ε
になりますね。(0<|x-a|<δ'を満たせば0<|x-a|<δ(ε)を満たすのですから当然です。)
δ(ε)はどんなに大きくともよいのです。それよりも小さい任意の正の数に対しても成り立つのだから問題ないのです。