中3数学です 画像の問題なんですけど、どうして20－a＝5n²になるのですか？

中3数学です
画像の問題なんですけど、どうして20－a＝5n²になるのですか？

No.5 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/06/23 11:34

直感的に、20-a=5　つまり　a=15　はわかりますよね。

問題は、条件を満たす自然数aの値を、
【すべて】求めよということで、a=15　の他にもないのかということになります。

ここで、√５に関連する数字をみてみたいと思います。
√10＝√(5・2)、√15＝√(5・3)、√20＝√(5・2²)＝２√5、√25＝√５²＝５、√30＝√(5・2・3)、
√35＝√(5・7)、√40＝√(5・2³)＝√(5・2・２²)＝２√(5・２)、√45＝√(5・3²)＝3√5、
√50＝√(5²・2)＝５√２、√55＝√(５・11)、√60＝√(5・3・2²)＝2√(5・3)、√65＝√(5・13)、
√70＝√(5・2・7)、√75＝√(5²・3)＝５√3、√80＝√(5・2⁴)＝√(5・4²)＝４√５、
√85＝√(5・13)、√90＝√(5・2・3²)＝３√(5・2)、√95＝√(5・19)、
√100＝√(5²・2²)＝5・2＝10
ちょっと、とびますが、
√225＝√(5²・3²)＝5・3＝15
√400＝√(5²・2⁴)＝√(５²・４²)＝5・4＝20
√625＝√５⁴＝√(5²・５²)＝5・5＝25

√５(20－a)が整数になるためには、√(5・5・○・○)となるということで、20-a=5・○・○　ということが必要です。
ところで、aは自然数です。ルートの中はマイナスにはなれません。aは１から20までの自然数ということになります。aを1から順番に、20－aに代入して考えると、20-a=5・○・○となるのは、
a=15のとき、20-15=5・1・1
a=20のとき、20-20=5・0・0
の２つということがわかります。

画像の中では、○をｎで表して、5・○・○＝5・ｎ・ｎ＝５ｎ²　として、20-a=5n²　となるa
を、ｎの値を０から順番に代入してaの値を求めています。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
忘れないようにします…！φ(．．)

お礼日時：2019/06/24 19:41

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/06/22 19:58

√(5(20-a)) が整数となるときを考えているのですね。

その整数を m と置きましょう。
√(5(20-a)) = m より、5(20-a) = m^2 です。
最後の式の左辺は 5 で割り切れるので、
右辺の m^2 も 5 で割り切れなければいけません。
m が 5 で割り切れることになりますね。そこで
m = 5n と置けば、20-a = 5n^2 となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
無事、理解することができました！

お礼日時：2019/06/24 19:39

No.3 回答者： kaname。。 回答日時： 2019/06/22 16:22

√を整数にするためには同じ数字が偶数個かけられてないといけません。

√5(20-‪α‬)では5が√の中にひとつあるので、(20-‪α‬)には5がひとつないと√を外して整数にはできません。
そしてnは偶数個かけられる必要があるのでn²になります。
このn²と5がかけられた5n²が括弧の中にないと√5(20-‪α‬)は整数になりません。
なので(20-‪α‬)=5n²になります。

この回答へのお礼

二乗の形にするのですね！
ありがとうございます！

お礼日時：2019/06/24 19:37

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/22 16:02

√2x2=2

√3x3=3
というように√の中身が同じ数2つの組（ペア）になれば、√の中身の数は外に出すことが出来るからです

まず、√の中身がマイナスになってはいけないので、aは１から20までの自然数です
√5(20-a)では、5x(20-a)ですから√の中身に確実に５ひとつが含まれていますよね。
従って√5(20-a)のルートの中身が、5x5や5x5x2x2,5x5x3x3、・・・であれば√の中に残る数は無いので
√5(20-a)はルートが消えて整数になれるのです。
ルートの中身について、
5(20-a)が5x5のとき　この2つを見比べて20-aが5に置き換わっていますから20-a=5(=5x1x1)…①です
5(20-a)が5x5x2x2のとき　この2つを見比べて20-aが5x2x2に置き換わっていますから20-a=5x2x2…②です
5(20-a)が5x5x3x3のとき　この2つを見比べて20-aが5x3x3に置き換わっていますから20-a=5x3x3…③です
・・・
よってこの調子で調べていくと20-aは幾通りにも書くことが出来るので、すべてを書き出ことは大変です。
そこで、代表して20-a=5xnxn=5n²としておけば、
n=1のときは①を表していますし、
②、③はn=2,3で表わすことが出来ています。
このほかにも、nを次々に変えていけば20-aの式のすべてのケースを網羅できているという事です
だから、20-a=5n²で全てのケースを簡単に表しているのです

この回答へのお礼

ありがとうございます！
理解できました！

お礼日時：2019/06/24 19:35

No.1 回答者： 。。。。ーーー 回答日時： 2019/06/22 14:56

√100−5ａが整数になるときなので

√5（20−ａ）は必ず整数になります

20−ａ＝5×nの2乗では

√5を整数にするために
5×nの2乗に、5つまり√5をつけてます

nの2乗は、√をはずしたら整数になります

nが0と1なのは
仮に2を入れたら

20−ａ＝5×2の2乗
20−ａ＝20
　　ａ＝0
となり、ａは自然数にならないからです

この回答へのお礼

なるほど！ありがとうございます…！(-人-)(-人-)

お礼日時：2019/06/24 19:35