∫(x^2+x)/√(2x+1)dx この不定積分のもとめかたを教えてください。

∫(x^2+x)/√(2x+1)dx
この不定積分のもとめかたを教えてください。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/23 16:04

t=√(2x+1)=(2x+1)^(1/2)とすると、

dt/dx=(1/2)×((2x+1)^(-1/2))×2
=(2x+1)^(-1/2)
=1/√(2x+1)
dt=(1/√(2x+1))dx

また、t^2=2x+1
2x=t^2 - 1
x=(t^2 - 1)/2

∫(x^2+x)/√(2x+1)dx
=∫x(x+1)/√(2x+1)dx
=∫((t^2 - 1)/2)((t^2 + 1)/2) dt
=(1/4)∫(t^4 - 1) dt
=(1/20)t^5 - (1/4)t + C
=(1/2)(2x+1)^(5/2) - (1/4)(2x+1)^(1/2) + C（C：積分定数）

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/06/23 16:05

ANo.1です。

最後脱字がありました。
∫(x^2+x)/√(2x+1)dx
（途中略）
=(1/20)(2x+1)^(5/2) - (1/4)(2x+1)^(1/2) + C（C：積分定数）

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2019/06/23 23:38

基礎知識は　xの2つの関数u,vに対して

　　∫uv'dx=uv-∫u'vdx　を使えばいいだけです。プラス　この問題は(√(2x+1))'=1/(√(2x+1))となるひらめきがないと路頭に迷うと思います。
　分解写真で解説します。
　　1.　初めの一歩が、被積分関数の分子を微分すると分母の√内の関数になっていることが分かれば簡単です。
　　2.　　(x^2+x)と1/(√(2x+1))に分けて
　　　　　　u=x^2+x　v'=1/(√(2x+1)) と置けば

　　 　 　　　 u=x^2+x　　　　　u'=2x+1
　　　　　　　v'=1/(√(2x+1))　　v=√(2x+1)
　　3.　∫uv'dx=uv-∫u'vdx　に代入して
　　　　∫(x^2+x)/√(2x+1)dx=(x^2+x)√(2x+1)-∫(2x+1)(√(2x+1))dx…①
　　4.　右辺の後半項に絞ります。
　　　　　　　　∫(2x+1)(√(2x+1))dx　…②を求めましょう。
　　　　　　√(2x+1)=tと置いてxで微分すると
　　　　　dt/dx=1/(√(2x+1)) 　dx=√(2x+1))dt　を②に代入してtの関数に置換して、
　　　　 　∫(2x+1)(√(2x+1))dx=∫(t^4)dt=(t^5)/5+c=(t^4)t+c=(2x+1)^2(√(2x+1))+c

　　5.①に戻せば
　　　　　　∫(x^2+x)/√(2x+1)dx=(x^2+x)√(2x+1)-(2x+1)^2(√(2x+1))+C
　　　　　　　　　　　　　　　　=(√(2x+1))(x^2+x-1)+C　　　(Cは積分定数。)
　　　かな。
　鉛筆もって自力で解きませう。

No.4 ベストアンサー 回答者： think2nd 回答日時： 2019/06/23 23:45

ごめんなさいNo3です。

5.から1/5を落としました訂正してください。
　　　　 　∫(2x+1)(√(2x+1))dx=∫(t^4)dt=(t^5)/5+c=(1/5)(t^4)t+c=(1/5)(2x+1)^2(√(2x+1))+c

　　5.①に戻せば
　　　　　　∫(x^2+x)/√(2x+1)dx=(x^2+x)√(2x+1)-(1/5)(2x+1)^2(√(2x+1))+C
　　　　　　　　　　　　　　　　=(1/5)(√(2x+1))(x^2+x-1)+C　　　(Cは積分定数。)
　でした。　失礼しました。