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多変量正規分布の積率母関数

多変量正規分布のモーメント母関数からの平均ベクトル、分散共分散行列の導出について質問します。

平均ベクトルをμ、分散共分散行列をΣとすると、多変量正規分布の積率母関数はtをベクトルとして

M(t)=exp{(μ^T)t+(1/2)(t^T)Σt}

となり、これをtについて2次までテイラー展開すると、剰余項を省略し

M(t)=1+(μ^T)t+(1/2)(t^T){Σ+μ(μ^T)}t

となります。

tで1回微分、2回微分したものに0を代入したものはM'(0)=μ、M''(0)=Σ+μ(μ^T)

となりますが、平均ベクトルはM'(0)で求まります。

しかし、分散共分散行列はM'(0)の2乗が「ベクトルの2乗」にあたり、計算できず、1次元で分散を求める式である、M''(0)-{M'(0)}^2で分散共分散行列が求められません。

どう求めれば良いのでしょうか?

A 回答 (1件)

M''(0)=Σ+μ(μ^T)


なら
Σ = M''(0) - μ(μ^T)
なのでは?
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この回答へのお礼

とても簡単なところを見落としておりました。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2019/07/16 07:05

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