この問題は 連続する3つの整数の積は6の倍数である(これは常識として覚えておくものですか？) を利用

この問題は
連続する3つの整数の積は6の倍数である(これは常識として覚えておくものですか？)
を利用してとくか、
数学的帰納法
を使うかどちらにしますか？
ついでに解説もいただきたいです。

or合同式

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/07/21 15:42

連続する3つの整数の積は6の倍数である(これは常識として覚えておくものですか？)

>覚えておかなくても、すぐに思いつくことです
というのも、３の倍数は連続する整数では３ごとに登場するので、連続する3つの整数の中に必ず含まれますし、偶数も連続する3つの整数の中に必ず含まれるから、連続する3つの整数の積は3の倍数ｘ偶数＝６の倍数になる　と言うのは直感的に分かることです。

本問の解法も自分がやりやすいものを採用すれば良いのです
2n³+3n²+n=n(2n+1)(n+1)=n{(n+2)+(n-1)}(n+1)=n(n+1)(n+2)+(n-1)n(n+1)だから
連続３数の積ー連続３整数の積=6の倍数-6の倍数=6の倍数、です
ただし、連続３整数の積=6の倍数ということを別途答案に示しておいた方が無難です（これを省くと、どうして連続３整数の積=6の倍数　といえるのか説明不足となり減点の恐れもあります）

また　場合わけでも行けそう
・nが３の倍数の時,n=3kとおいて2n³+3n²+n=n(2n+1)(n+1)・・・（あ）に代入、
n(2n+1)(n+1)＝3k(6k+1){(3k+1)+1}は先頭に３があるので３の倍数です
また,3k{(3k+1)+1}は連続２整数の積なので、（あ）は２の倍数です
あわせて,n(2n+1)(n+1)＝3k(6k+1){(3k+1)+1}は６の倍数
・ｎは３で割ると１余る数の時　n=3k+1とおいて(あ）に代入
・ｎは３で割ると2余る数の時　n=3k+2といて（あ）に代入
これらも同様に６の倍数が示せます（ご自分で！）


ちなみに今回はnが整数なので、nの最低値が定まりません
よって帰納法では難しいと思います。
仮にnが自然数という条件なら帰納法でも可能です

2n³+3n²+nは６の倍数である　このことを①とする
[1]n=1のとき、2n³+3n²+n=2・１³+3・１²+1=6
よって①は成り立つ
[2]n=kのとき①が成り立つと仮定すると
2k³+3k²+kは6の倍数である
n=k+1のときを考えると
2(k+1)³+3(k+1)²+(k+1)=(k+1){2(k+1)²+3(k+1)+1}
=(k+1)(2k²+7k+6)
=2k³+9k²+13k+6
=(2k³+3k²+k)+6k²+12k+6
=(2k³+3k²+k)+6(k²+2k+1)
よって　（6{k²+2k+1}は６の倍数、{2k³+3k²+k}も６の倍数だから,6の倍数＋６倍数で）
(2k³+3k²+k)+6(k²+2k+1)は６の倍数となるからn=k+1の時も①は成り立つ

[1,2]から帰納法により①はすべての自然数について成り立つ

（nの最低値が決まっていない条件下では[1]を述べることが出来ないので、nが整数の条件では帰納法を用いることが難しい）

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/22 00:29

タイトルを完全に無視して

・n = 0 のとき: 明らか
・n > 0 のとき: 2n^3 + 3n^2 + n = 6Σ(k=1～n) k^2
・n < 0 のとき: 2n^3 + 3n^2 + n = -[2(-n)^3 + 3(-n)^2 + (-n)] + 6n^2.

No.3 回答者： doc_somday 回答日時： 2019/07/21 20:43

常識として覚えておく＞連続する3つの整数は必ず2と3の公倍数になります。

瞬時に想い出して下さい。連続する整数を切ると嫌でもそうなります。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2019/07/21 14:11

mod 6 において

(i) n≡0 の時
n^3≡0, n^2≡0,
∴　2n^3 + 3n^2 + n ≡ 0
(ii) n≡1 の時
n^3≡1, n^2≡1
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 2+3+1 = 6 ≡ 0
(iii) n≡2 の時
n^3≡8≡2, n^2≡4
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 4+12+2 = 18 ≡ 0
(iv) n≡3 の時
n^3≡27≡3, n^2≡9≡3
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 6+9+3 = 18 ≡ 0
(v) n≡4 の時
n^3≡64≡4, n^2≡16≡4
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 8+12+4 = 24 ≡ 0
(vi) n≡5 の時
n^3≡125≡5, n^2≡25≡1
∴ 2n^3 + 3n^2 + n ≡ 10+3+5 = 18 ≡ 0
以上より2n^3+3n^2+nは6の倍数であることが示された。