A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
(1)
x=Ae^-kt に (t=1 のとき x=12) と (t=4 のとき x=6) とを代入して、12=Ae^-k, 6=Ae^-4k.
辺々割り算して、12/6 = (Ae^-k)/(Ae^-4k) = e^3k.
両辺の対数をとれば、log 2 = 3k. よって、k = (log 2)/3.
(2)
濃度の変化率は (d/dt)x(t) = (d/dt)Ae^-kt = -kAe^-kt = -kx(t) で、
「減少の速さ」と呼ぶべきものは kx.
これに t=4 を代入して、kx = {(log 2)/3}・6 = 2 log 2.
(3)
時刻が t=s から t=s+T になると、x の比は x(s+T)/x(s) = (Ae^-k(s+T))/(Ae^-ks) = e^-kT.
時間 T の経過によって x の値は e^-kT 倍になる。
1/2 倍になるのに要する時間は、e^-kT = 1/2 を解いて、T = log(1/2)/(-k) = 3.
No.1
- 回答日時:
x(t) = A*e^(-kt)
のグラフが書けますか?
t=0 のとき
x(0) = A
t=1/k のとき
x(1/k) = A*e^(-1) = A/e
t→∞ のとき
x(∞) → 0
これのちょっと応用として、
t=[ln(2)]/k のとき
x(t) = A*e^[-ln(2)] = A*e^[ln(1/2)] = A/2
になるのは分かりますか?
この4点ぐらいがあれば、グラフが書けるでしょ?
↓ このサイトにあるようなグラフになります。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E6%B8%9B …
https://www.ene100.jp/%E6%94%BE%E5%B0%84%E8%83%B …
このグラフが書ければ、あとは「想像」できるでしょ?
(1) 単純に代入すればよいだけ。
・t=1のときx=12なのだから
12 = A*e^(-k) ①
・t=4のときx=6なのだから
6 = A*e^(-4k) ②
①を
e^(-k) = 12/A
として自然対数をとれば
-k = ln(12/A) = ln(12) - ln(A) ③
②を
e^(-4k) = 6/A
として自然対数をとれば
-4k = ln(6/A) = ln(6) - ln(A) ④
③ - ④より
3k = ln(12) - ln(6) = ln(12/6) = ln(2)
→ k = (1/3)ln(2) ⑤
(2) 「濃度現象の速さ」って、dx/dt だということが分かりますか? つまり「濃度のグラフ」の接線の傾きです。
x(t) = A*e^(-kt)
なのだから
v(t) = dx/dt = -kA*e^(-kt) = -kx
t=4 のとき x=6 なのだから、⑤を使って
v(4) = -6k = -2ln(2)
(3) 上のグラフを書くところでも書いちゃったけどね。半減期を T とすれば
x(T) = (1/2)x(0) ⑥
だから
x(0) = A
x(T) = A*e^(-kT)
より、⑥は
A*e^(-kT) = (1/2)A
→ e^(-kT) = 1/2
両辺の自然対数をとって
-kT = ln(1/2) = -ln(2)
よって
T = (1/k)ln(2)
⑤を使えば
T = 3
これは「t=1のときx=12、t=4のときx=6」なので「時間間隔3で半分になっている」ことから自明ですねどね。
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