空間内で P(p,3,p),Q(q,0,0) がPQ<=5を満たしながら動くとき、線分PQが通過し得

空間内で
P(p,3,p),Q(q,0,0)
がPQ<=5を満たしながら動くとき、線分PQが通過し得る範囲Kの体積を求めよ。

空間の問題は非常に苦手です。
どなたかご教示願います

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/11 11:28

確かに空間の問題はわかりづらいです。

わかりやすいように、とりあえずPQ=5として考えてみます。点Q(q,0,0)は、平面y=0上の点で、その平面内のｘ軸上を動く点です。点P(p,3,p)は、平面y=3上の点で、ｘ座標とｙ座標が等しい点です。つまり、平面y=3上の直線z=x上の点です。

点Q(q,0,0)から、平面y=3に垂線を下ろし、その足をRとすると、R(q,3,0)となります。点Pは平面y=3上の点なので、∠PRQ＝90°。QR=3,PQ=5なので、△PRQは直角三角形で、PR=4となります。つまり、点Pは、平面y=3上で、円(x-q)²+z²=4²……①　の円周上の点です。さらに、直線z=x……②の上の点ですから、①と②の交点となります。

①と②より、ｚを消去すると、(x-q)²+x²=4²
2x²-2qx+q²-16=0
x=［q±√{q²-2(q²-16)}]/2＝{q±√(32-q²)}/2
よって、点Pが存在する条件は、32-q²≧0、-４√２≦ｑ≦４√２
円と直線の交点PをP₁、P₂とすると、
P₁( {q+√(32-q²)}/2, 3, {q+√(32-q²)}/2 )
P₂( {q－√(32-q²)}/2, 3, {q－√(32-q²)}/2 )

ここで、PQ≦５を考えると、点Pは、円(x-q)²+z²=4²の内部の点で、直線z=x上の点なので、線分P₁P₂上の点ということになります。したがって、△QP₁P₂の内部が条件を満たす範囲で、それを-４√２≦ｑ≦４√２で移動した範囲Kが求めるものになります。

△QP₁P₂はｘ軸に対して垂直ではないので、P₁、P₂より、平面x=ｑ上に垂線を下ろし、その足をそれぞれ、R₁、R₂とすると、
R₁( {q, 3, {q+√(32-q²)}/2 )
R₂( {q, 3, {q－√(32-q²)}/2 )
△QR₁R₂の面積を表す式を-４√２≦ｑ≦４√２で積分することで、Kの体積が求まります。


△QR₁R₂の面積は、1/2×R₁R₂×QR＝1/2×√(32-ｑ²)×３＝3/2√(32-ｑ²)
よって、求める体積は、∫(-４√２～４√２)3/2√(32-ｘ²)ｄｘで、x=４√２sinθおいて計算すると、
求めるKの体積は、24πとなります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/08/13 16:16

No.1 回答者： kacchann 回答日時： 2019/08/08 19:41

(1)線分PQと平面y=tとの交点Aの動く領域の面積を求める。

(2)それをyで積分

宿題丸投げは関心しません。