両方解説お願いします。まず最初になにを思うべきなのかや、何故その処理を行ったのかの理由もお願いします

両方解説お願いします。まず最初になにを思うべきなのかや、何故その処理を行ったのかの理由もお願いします。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/08/16 17:43

両方は計算量が多く大変なので、(1)を解きます。

(1)は、
(1-x^2)∫[0, x]f(t)dt=∫[x, 1]x^2f(t)dt
(1-x^2)∫[0, x]f(t)dt=x^2∫[x, 1]f(t)dt …(p)

関数f(x)をxで積分した関数をF(x)とすると、
(1-x^2)(F(x)-F(0))=x^2(F(1)-F(x))
F(x) - F(0) - F(x)x^2 + F(0)x^2=F(1)x^2 - F(x)x^2
F(x)=F(1)x^2 - F(0)x^2 + F(0)
F(x)=(F(1)-F(0))x^2 + F(0) …(q)

(q)をxで微分すると、
f(x)=2(F(1)-F(0))x

F(0), F(1)は定数なので、k=F(1)-F(0)とすると、
f(x)=2kx …(r)

(r)を(p)に代入すると、
(1-x^2)∫[0, x]2kt dt=x^2∫[x, 1]2kt dt
(1-x^2)(kt^2)[0, x]=x^2(kt^2)[x, 1]
(1-x^2)kx^2=x^2(1-kx^2)
kx^2 - kx^4=x^2 - kx^4
x^2(k-1)=0
k=1

ゆえにf(x)=2x

(2)も考え方は(1)と同じです。
ただaの値を求めないといけない分、計算量が増え、多少複雑になります。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2019/08/16 20:01

(1)左辺と右辺の積分区間が異なるのが鬱陶しく思うのです。

そこで試しに、左辺を［0,1］区間の積分引く［0,x］区間の積分として式を整理することにしてみます。そうすると［0,x］の積分がx^2に比例するということが判るので解く見通しが立つのです。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/17 22:44

最初に思うべきことは、「どこに f(x) があるかな？」です。

(1) は一見、右辺が複雑な式のように見えますが、
x^2 は t で積分するときには定数でしかないし、
積分区間の扱いも安いトリックに過ぎません。
右辺 = (-x^2)∫[1,x]f(t)dt = (-x^2){ ∫[0,x]f(t)dt - ∫[0,1]f(t)dt }
と変形してみれば、f(x) は式中に ∫[0,x]f(t)dt の形だけで登場
していることが明らかになります。
∫[0,1]f(t)dt は、ただの定数ですから、気にする必要はありません。
C = ∫[0,1]f(t)dt とでも置いてしまいましょう。

そこで、与式を ∫[0,x]f(t)dt について解いてみると、
∫[0,x]f(t)dt = Cx^2 となります。
微分すれば、f(x) = 2Cx です。
C は任意の定数ですが、少し体裁を整えて
f(x) = Ax (Aは任意の定数) とでも書いておきましょうか。

A が任意でよいことは、問題の式に f(x) = Bg(x) (Bは定数)
を代入してみれば納得できるでしょう。

(2) でも、右辺の ∫[0,1]f(t)dt はただの定数です。
f(x) が影響する部分は、左辺にしかありません。
今回も、C = ∫[0,1]f(t)dt とでも置いてしまいましょう。

∫[a,2x]f(t)dt から f(x) を取り出すには、微分すればいいですよね。
与式の両辺を微分して、2f(2x) = e^x + xe^x + C です。
ここから直ちに、f(x) = {(2 + x)/4}e^(x/2) + C/2 と判ります。

この式を C の定義へ代入すると、
C = ∫[0,1]f(t)dt = ∫[0,1]{ (1/2)(1 + t/2)e^(t/2) + C/2 }dt
= (C + √e)/2.
これを解いて、x = √e.

すなわち、f(x) = {(2 + x)/4}e^(x/2)} + (√e)/2 です。