中学数学（高校入手問題）を教えてください。

画像にて、問題（上段）、答（下段）を貼り付けます。
[1]は答えを見ずとも分かりました。
[2]は答えを見ても分かりません。教えてただけないでしょうか？

　第9行第1列が81は分かります。
　第10列第1行（82となりますが）これを出してきた意味や
　84-81としている理由（考え方）が分かりません。
　ご教授お願いします。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/18 21:58

＞L字型（逆L字型ですが）の初項、末項と言われる意味が分かりませんが、

群に区切る前のもとの数列が自然数の列 1,2,3,... であることを考えると、
これを No.3 添付図のように群分けしたものを一直線に並べれば
1 | 2 3 4 | 5 6 7 8 9 | 10 11 12 13 14 15 16 | 17 ... と書けて
縦線が群の区切りになっています。例えば第 4 群は
10 11 12 13 14 15 16 となっていて、この有限数列の
初項目が 10、末項が 16 です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/17 14:04

L字型と書いたのは、添付図のような意図です。

あの説明では、伝わらなかったかなあ...

数列を群に区切ると、各群が有限数列になるので、
その中の初項とか末項とかがあるわけです。
この問題では、もとの数列が自然数の列 1,2,3,....
であることを確認して、図を眺めてください。
各群の末項が第 1 列に並んでいますね？

第 m 群の末項が m^2 であることは、
第 1 列に並んだ数の規則性から推測してもよいし、
第 m 以下のL字型をすべて併せた正方形内の
項数から考えてもよいです。

各第 m 群の末項が m^2 であれば、
第 m 群の初項は第 m-1 群の末項の次だから
もとの数列の第 (m-1)^2+1 項になります。

これは、第 m 群初項 = 第 m 群第 1 項が
第 m-1 群末項の 1 つ後の項であるからです。
第 m 群第 ｋ 項なら
第 m-1 群末項の ｋ 個後の項ですから、
もとの数列の第 (m-1)^2+k 項になります。
この k を直接扱うためには、
各群初項を基準に考えるよりも
各群末項を基準に考えたほうが扱い易いのです。

群数列は、まず各群末項がもとの数列の第何項か
を把握せよと言われる理由は、そこにあります。

今回の問題は、もとの数列が 1,2,3,… であるとか
各群末項が m^2 であることがひとめで判るとか
簡単になるように細部に配慮して作られていますから、
No.2のように軽く受け流すこともできますが、
これを機会に群数列の考え方を整理しておくのも
よいのではないかと思います。

この回答へのお礼

丁寧にご回答いただきありがとうございます。
ご回答内容と私なりに考え理解ができました。

こちらの補足
　L字型の説明は頂いた図の見方をすることを理解します。
　赤○いただいた9と10の位置関係（4と5なども）は理解します。

まだわからないところ
　「数列の第 (m-1)^2+k 項」のご説明もどこで成り立つか理解できません。
　　　　第2行、第2列以降であれば、数式は成り立ちますが、、、

結局
　L字型（逆L字型ですが）の初項、末項と言われる意味が分かりませんが、
　上から下に１つずつ増えてかぞえる、
　各郡、（L字型区切り）の上の数字さえわかれば、１つずつ増やして数える
　ことでとけました。

お礼日時：2019/08/18 08:59

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/08/17 11:53

［１］が分かったということは、自然数のこの並び方の規則は分かったということですね。

1,2,3,……とこの規則に従って並べていくことはできますね。

84ですから、1,2,3,……と順番に全部書いてしまってもたいしたことはないと思いますが、81の場所が分かるのですから、そこから続きの82、83，84と書いていけば良いわけです。

ということで、まず、82の場所を出してきています。81は第9行第1列で，9行9列の正方形の左下なので、9行9列の正方形の部分は全部埋まっていますので、82は右上に上がり、第1行第10列になります。

次の引き算はしなくても良いです。この規則が分かっているのですから、第1行第10列から下に向かって、83は第2行第10列、84は第3行第10列と求めれば良いです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/17 00:22

このテの問題が高校入試に出されていたのは

ずいぶん昔の話かと思っていたけれど、最近また
こんなのが出題されているんですか？

これは「群数列」ってヤツで、
全体の数列を区切って「群」に分けることで、
全体での第 n 項の値を n の式で書くよりも
第 m 群の中の第 k 項の値を m,k の式で書くほうが
考えやすいというパターンの問題です。

この問題では、自然数の列を
左上を第 １ 行第 １ 列にそろえた正方形で区切っていって、
各正方形の差となるL字型を小さい方から群にしてゆく
とよいでしょう。

群数列では、各群の初項または各群の末項が
全体の第何項かを調べておくことが要点になります。

[1]にあるように、上記の群分けでの第 m 群末項は
第 m 行第 1 列の m^2 となっています。
第 m 群初項なら、(m-1)^2 + 1 です。

84 は、 9^2 < 84 ≦ 10^2 なので、
第 ９ 群末項より後で第 10 群末項よりは前、
つまり第 10 群に含まれていることが判ります。

第 10 群は 9^2+1 = 82 から 10^2 = 100 までですが、
前半の 82〜91 がL字型の縦の辺に
後半の 91〜100 がL字型の横の辺に含まれます。
84 は 82 から 2 だけ下へ行った所なので、
第 10 群初項である第 1 行第 10 列から
2 だけ下へ行った第 3 行第 10 列の位置だと判ります。

ここでは、第 10 群初項の 82 を基準に 84 - 82 を考えましたが、
第 9 群末項の 81 を基準に 84 - 81 = 3 を考えれば
写真の解説のようになります。このとき出てくる 3 が
84 は第 10 群の中の第 3 項である... の 3 であることから、
群初項よりも群末項を基準に考えることが多いのです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
丁寧に説明いただいておりますが、
私にはまだ理解ができません。
再度、ご教授願えませんでしょうか？


群数列の意味、どういったものかは理解しておりますが、
この問題がどういう形で群になるのかわかりません。
また、L字型の見方もわかりません。

＞[1]にあるように、上記の群分けでの第 m 群末項は
＞第 m 行第 1 列の m^2 となっています。
＞ 第 m 群初項なら、(m-1)^2 + 1 です。

第 m 行第 1 列の m^2 までわかりますが、
次にある、「初項」とは？
「(m-1)^2 + 1 」を第 m 群初項といわれていますが、
第1行目にのみ当てはまっているしか確認できません。

以降のご説明も、「群」の区切り方、「L字型」の見方など
分からないためまったく理解ができません。

また、81を基準として場合で差が3となりますが、
3がなぜ第3項（そもそも第何行、第何列のなか何項？）と
いわれる意味も分かりません。

すみませんが、再度ご教授お願いいたします。

お礼日時：2019/08/17 07:50