No.2ベストアンサー
- 回答日時:
y=2x²-3x+2+(x-2)|x-1|
x>1のとき、
y=2x²-3x+2+(x-2)(x-1)
=3x²-6x+4
=3(x-1)²+1 頂点(1,1)の下に凸の放物線です。
x≦1のとき、
y=2x²-3x+2-(x-2)(x-1)
=x²
よって、曲線Cは、放物線 y=x² と放物線 y=3x²-6x+4 を点(1,1)のところでつないだ曲線です。
y=ax-a+1
=a(x-1)+1
x=1のとき、y=1となるので、この直線は傾きaの値にかかわらず、点(1,1)を通ります。
[1]y=x² と y=ax-a+1 を連立させて交点のx座標を求めます。
x²=ax-a+1
x²-ax+a-1=0
(x-1){x-(a-1)}=0
x=1,a-1
y=x²はx≦1の範囲なので、a-1≦1より、a≦2…①
この放物線と直線で囲まれる部分の面積をS₁(a)とすると、
S(a)=S₁(a)=∫(x=(a-1)~1){(ax-a+1)-x²}dx=1/6{1-(a-1)}³=1/6(2-a)³
[2]y=3x²-6x+4とy=ax-a+1を連立させて交点のx座標を求めます。
3x²-6x+4=ax-a+1
3x²-(a+6)x+a+3
(x-1){3x-(a+3)}=0
x=1,(a+3)/3
y=3x²-6x+4はx>1の範囲なので、(a+3)/3>1より、a>0…②
この放物線と直線で囲まれる部分の面積をS₂(a)とすると、
S(a)=S₂(a)=∫(x=1~(a+3)/3){(ax-a+1)-(3x²-6x+4)}dx=3/6{(a+3)/3-1}³=1/2(a/3)³=a³/54
(1)①、②より、
(ⅰ) a≦0のとき、
S(a)=S₁(a)=1/6(2-a)³
(ⅱ) 0<a<2のとき、
直線は両方の放物線と交わるので、
S(a)=S₁(a)+S₂(a)=1/6(2-a)³+a³/54
(ⅲ)a≧2のとき、
S(a)=S₂(a)=a³/54
(2)
(ⅰ) a≦0のとき、
S(a)=1/6(2-a)³ 最小値は、S(0)=8/6=4/3
(ⅱ) 0<a<2のとき、
S(a)=1/6(2-a)³+a³/54
1/6(2-a)³≧0, a₃/54≧0、相加相乗平均の不等式より、
S(a)=1/6(2-a)³+a³/54≧2√{1/6(2-a)³×a³/54}
等号が成り立つのは、1/6(2-a)³=a³/54のとき、
9(2-a)³=a³
{₃√9(2-a)}³=a³
₃√9(2-a)=a
(1+₃√9)a=2(₃√9)
a=2(₃√9)/(1+₃√9)
よって、a=2(₃√9)/(1+₃√9)のとき、S(a)は最小値をとり、
S(a)=2√{(a³/54)×(a³/54)}=(2a³)/54=a³/27
最小値は、
S( 2(₃√9)/(1+₃√9) )={2(₃√9)/(1+₃√9)}³/27=72/27{1/(1+₃√9)}³=8/3{1/(1+₃√9)}³
(ⅲ)a≧2のとき、
S(a)=S₂(a)=a³/54 最小値は、S(2)=8/54=4/27
(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の最小値を比べます。4/3>4/27
最小値 8/3{1/(1+₃√9)}³の大きさについて考えます。
₃√9>₃√8=2より、{1/(1+₃√8)}³=1/27>{1/(1+₃√9)}³
8/3{1/(1+₃√9)}³<(8/3)(1/27)=8/81
(ⅲ)の最小値4/27=12/81より、
(ⅱ)の最小値が一番小さい。
したがって、S(a)の最小値は、8/3{1/(1+₃√9)}³
No.3
- 回答日時:
No.1 です。
(1) まず、Cのグラフに書くこと。絶対値を外す条件を分けて。
(2) そこに直線ℓを書き入れて、交点を持つための条件と、交点の座標を求める。
a の条件によって、交点の数や位置が変わる。
(3) 交点の条件から、それに従った S(a) を求める。
(4) S(a) の増減表を作り、最小値を求める。
けっこう面倒そうなので、具体的にはお任せします。
No.1
- 回答日時:
面積を a の関数として表わし、a の変化に対する S(a) の増減表を作って、「最小」となるときの a と「最小値」を求めてください。
増減表を作るとき、極値を求めるには S(a) を a で微分すればよいです。
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