最小値問題（大学数学）

f(x,y,z)=(3x^2+3y^2+z^2-2xy)/(x^2+y^2+z^2)
((x,y,z)=(0,0,0)となる点を除く)
この関数の最小値とその時の点をすべて求めたいのですが、どのようになるか教えて欲しいです。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/22 14:21

分母を簡潔にするために球面座標に変換してみる。

x = r cosθ cosφ,
y = r cosθ sinφ,
z = r sinθ
と置くと、
f = 3(cosθcosφ)^2 + 3(cosθsinφ)^2 + (sinθ)^2 - 2(cosθcosφ)(cosθsinφ)
　= 3(cosθ)^2{ (cosφ)^2 + (sinφ)^2 } + { 1 - (cosθ)^2 } - 2(cosθ)^2(cosφsinφ)
　= 1 + (cosθ)^2{ 3 - 1 - 2(cosφsinφ) }
　= 1 + (cosθ)^2{ 2 - sin(2φ) }
と変形できる。

r が消えたのは目論見どおりだが、幸運なことに θ と φ が分離された。
常に (cosθ)^2 ≧ 0, 2 - sin(2φ) > 0 だから、
f が最小になるのは (cosθ)^2 = 0 のとき。 すなわち、
θ = π/2 + (整数)π, 任意の r, θ に対して f は最小値 1 をとる。

x, y, z の値に翻訳すると、
x = 0,
y = 0,
z = 任意
のとき 最小値 f(x,y,z) = 1.

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/01/23 13:00

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/22 00:52

f=1+{(x-y)²+x²+y²}/(x²+y²+z²)≧1

fが最小になるときは、2項の分子=0、つまり、
　(x-y)²=x²=y²=0 → x=y=0
のとき、最小値 f=1

まとめると、
　x=y=0 かつ ∀z≠0

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/22 00:45

分子分母ともに 2次だから x^2+y^2+z^2 = 1 のもとで分子を最小化する問題に帰着できるねぇ. そして z を消去して

x, y の 2変数で考えるとか.