数学 f（x）＝ −x二乗 ＋6ax −2 （−3小なりイコールx小なりイコール3）最大値教えてくだ

数学 f（x）＝ −x二乗 ＋6ax −2 （−3小なりイコールx小なりイコール3）最大値教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2019/09/12 18:53

x の定義域 -3≦x≦3 のときの、

　f(x) = -x^2 + 6ax - 2
の最大値を求めればいいんですよね？

まずは「定石」の平方完成して
f(x) = -x^2 + 6ax - 2
　　= -(x - 3a)^2 + 9a^2 - 2
なので、y = f(x) のグラフは
・上に凸の放物線
・頂点は (3a, 9a^2 - 2)
・軸は x=3a
ということが分かります。

この「頂点」が、x の定義域 -3≦x≦3 の範囲内にあるか、それよりも左にあるか右にあるかで、最大値が変わりますね。

(a) 頂点が x の定義域 -3≦x≦3 よりも左にあるとき、つまり 3a<-3 → a<-1 のとき
放物線は -3≦x≦3 では「単調減少」なので、最大になるのは x=-3 のときで、最大値は
　f(-3) = -9 - 18a - 2 = -18a - 11

(b) 頂点が x の定義域 -3≦x≦3 の中にあるとき、つまり -3≦3a≦3 → -1≦a≦-1 のとき
放物線は頂点 x=3a で最大になるので、最大値は
　f(3a) = 9a^2 - 2

(c) 頂点が x の定義域 -3≦x≦3 よりも右にあるとき、つまり 3<3a → 1<a のとき
放物線は -3≦x≦3 では「単調増加」なので、最大になるのは x=3 のときで、最大値は
　f(3) = -9 + 18a - 2 = 18a - 11

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2019/09/12 17:41

f(x)＝-x^2+6ax-2　←　平方完成の形に変形する

=-(x^2-6ax)-2
=-(x^2-6ax+(3a)^2)-2+(3a)^2
=-(x^2-3a)^2+9a^2-2
f(x)の頂点(3a,9a^2-2)　←　頂点の位置が判ったので、xの範囲やaの値を考えて最大値を考察する

xの範囲の　条件　-3≦x≦3　より。aは　-1≦a≦1となる
a=-1の時　f(-3)=7
a=0の時　f(0)=-2
a=1の時　f(3)=7
∴最大値=9a^2-2　で　aは　-1≦a≦1　最大値の範囲は-2≦最大値≦7

問題の題意が読めず、あまり自信がないです
平方完成させて最大値を議論するところまでは良いと考えます