算数の問題について質問です。 正四角錐は辺が同じ長さの 正四面体の2倍の体積 なのだそうですが、 そ

算数の問題について質問です。

正四角錐は辺が同じ長さの
正四面体の2倍の体積
なのだそうですが、
それがイマイチ何故そうなのか理解出来ません。

理解できるようにわかりやすく
解説して頂きたいです。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/11/28 22:52

正四面体は四面全てが正三角形。

正四角錐は底面が正方形で、側面が二等辺三角形。

仮に、正四面体の一辺の長さをaとする。
正四面体の体積は(√2/12)a^3

次に、正四角錐の側面が正三角形で、長さを正四面体と同じa、高さの比率をH、高さをaとする。

正四角錐の体積は、(1/3)×Ha×a^2=(H/3)a^3

なので、正四角錐が正四面体の2倍の体積になるには、
(H/3)a^3=2×(√2/12)a^3=(√2/6)a^3
H/3=√2/6
H=√2/2=1/√2

なので高さはHa=(1/√2)a
二等辺三角形の二等分線の長さをmとすると、三平方の定理より、
m^2=(1/2)a^2 + (1/4)a^2=(3/4)a^2

二等辺三角形の二等辺の長さをLとすると、三平方の定理より、
L^2= m^2 + (1/4)a^2=(3/4)a^2 + (1/4)a^2=a^2
L=a

上記より、正四角錐はの体積は、辺が同じ長さの正四面体の2倍の体積になることが示された。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ゴリゴリに計算して合ってるから示せる、しか方法が無いようですね

お礼日時：2019/11/29 12:10

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/29 19:27

何故って理由が特に何かあるわけでもないだろうけど、

両方の体積を計算してみれば、確かに２倍になっていることは判るはず。
解らないのは、イマイチ真剣に計算してないからじゃないの？
ちゃんと計算して見せてくれた人を「ゴリゴリに計算して」とか揶揄してるし...
そういうとこ、良くないよ。

この回答へのお礼

計算は終えてますよ？ただ、小学生の問題なのに√を使わなければならないのはおかしいですよね？
揶揄してるように見えてるなら捉える側の問題です。回答した方が言うならまだしも。

お礼日時：2019/11/29 22:08

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2019/11/29 14:38

「高さによって正四角錐の体積は変わるので」、確かにその通りですが、

問題文は、「正四角錐は辺が同じ長さの正四面体」ですから、
適当に 辺の長さを決めて下さい。
三平方の定理で 辺の長さから 高さが 計算できます。
計算は少し面倒くさいですが、挑戦してみて下さい。
下記サイトが 参考になるかも。
https://mathwords.net/seisikakusui
https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/kosu/m …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。やはりゴリゴリに計算しないと導けないのですね。
計算自体は初めから済ませていて確かにそうなるのですが、
小学生の問題なので√を使わないと分からないのは問題として不適かもしれませんね。
小学生向けの問題なので直感で分かるような方法があるのかと思いましたが無さそうですね

お礼日時：2019/11/29 22:05

No.2 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/11/29 09:37

＞何故そうなのか理解出来ません。

高さによって正四角錐の体積は変わるので、
　問題の（どこかに書いてあった）条件でたまたま２倍になった
ということでしょうか
https://mathwords.net/seisikakusui

問題文の中の、どのように正四角錐の高さを決めたのかが書かれている部分にヒントが隠れていると思いますよ

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。高さの話は書いてありません。なのでヒントになる事は一切書かれていません。全て同じ長さの辺で作られた正四角錐と正四面体です。

お礼日時：2019/11/29 12:12