A⊂Bを整域としてBをA上有限生成とする。vをBの0でない元としてこのとき以下を満たすAの元u≠0が

A⊂Bを整域としてBをA上有限生成とする。vをBの0でない元としてこのとき以下を満たすAの元u≠0が存在する。
f(u)≠0を満たすAからある代数的閉体Ω、への任意の準同型写像fはg(v)≠0を満たすBからΩへの準同型gに拡張される。



[証明] 生成系の個数に関する帰納法により, Bが A代数として 1元で生成されるとき, すなわち B=A[x]の場合を示せば充分である.
(1) xが A上超越的のとき. v=a_0x^n+a_1x^(n−1)+⋯+a_nと表されるとする.
u=a_0とすればf(u)≠0のとき, ξ∈Ωで
f(u)ξ^n+f(a_1)ξ^(n−1)+⋯+f(a_n)≠0
を充たすものが存在する. ここで
g:B=A[x]→Ωを a∈Aに対し
g(a)=f(a), g(x)=ξ
でて定義される環準同型とすれば, これは条件を充たす.
(2) xがA上代数的のとき. 分数体 Q(B)=Q(A)[x]上代数的, 特に
xおよび v^ (-1)∈Q(B)もA上代数的なので, 両者の関係式を
a_0x^m+a_1x^(m−1)+⋯+a_m=0
b_0v^(−n)+b_1v^(−n+1)+⋯+b_n =0
とする.
u=a_0b0とするとf:A→Ωが f(u)≠0なる環準同型のとき, これは
f_1:A[u^(−1)]→Ωに拡張される. Proposition 5.21 により
f_1はある付値環 Cからの準同型
g^(~):C→Ωへと拡張でき,
xはA[u^(−1)]上整なので x∈CゆえにB⊂Cまた v^(−1)も A[u^(−1)]上整なので v^(−1)∈Cしたがって vはC内で可逆ゆえ
g^(~)(v)≠0以上により,
gをg^(~)の Bへの制限ととればよい. [終]

Proposition 5.21 はKを体,Ωを代数閉体とし,
Σ:={(A,f)∣AはKの部分環,
f:A→Ωは環準同型}

と定めると, ここに
(A,f)≤(B,g)⟺A⊂Bかつ
g|A=f

と順序構造を入れることができます. この順序集合Σ
に Zorn の補題を適用してた極大元がKの付値環となることです。


この証明でわからないところがあります。

1. u=a_0とすればf(u)≠0のとき, ξ∈Ωで
f(u)ξ^n+f(a_1)ξ^(n−1)+⋯+f(a_n)≠0
を充たすものが存在する.とありますが、何故ですか？

2. Proposition 5.21 により
f_1はある付値環 Cからの準同型
g^(~):C→Ωへと拡張できるとありますが何故ですか？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/12/06 15:47

1.

u=a_0とすればf(u)≠0のとき,

Ωは代数的閉体
だから
1次以上の任意のΩ係数方程式がΩ上に根を持つから
任意のΩの元v≠0に対して
Ω係数n次方程式
f(u)x^n+f(a_1)x^(n−1)+⋯+f(a_n)=v
はΩ上に根を持つからその根をξとすると
f(u)ξ^n+f(a_1)ξ^(n−1)+⋯+f(a_n)=v≠0
となるから
ξ∈Ωで
f(u)ξ^n+f(a_1)ξ^(n−1)+⋯+f(a_n)≠0
を充たすものが存在する

2.
KをBの商体とすると
A⊂B⊂K
Σ:={(A,f)∣AはKの部分環,
f:A→Ωは環準同型}
と定めると, ここに
(A,f)≤(B,g)⟺A⊂Bかつ
g|A=f
と順序構造を入れることができる.
この順序集合Σ
に Zorn の補題を適用してた極大元
を
C
とすれば Proposition 5.21 により
C
がKの付値環になるから
f_1は付値環 Cからの準同型
g^(~):C→Ωへと拡張できる