2変数関数の極値の問題について 関数 f(x,y) = x^4+y^4-(x-y)^2の極値を求めて

2変数関数の極値の問題について
関数 f(x,y) = x^4+y^4-(x-y)^2の極値を求めてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/03 00:11

fx=4x³-2(x-y)=0 , fy=4y³+2(x-y)=0 → 4x³=2(x-y)=-4y³

→ x³+y³=0 → (x+y)(x²-xy+y²)=0
→ y=-x or x²-xy+y²=0
ここで、x²-xy+y²=(x-y/2)²+3y²/4≧0　なので、解は x=y=0 になる。もう一つの y=-x を
fx=0 に入れると
4x(x²-1)=0 → x=0 or x=±1
したがって、y=-x に戻して、y=0 or y=∓1 をえる。

以上をまとめると停留点は (0,0), (±1,∓1) （複合同順）となる。

fxx=12x²-2, fyy=12y²-2, fxy=2　だから

(x,y)=(0,0) のとき、fxx=-2<0, D=fxxfyy-fxy²=4-4=0・・・判別不能
(x,y)=(±1,∓1)のとき、fxx=10>0, D=10・10-4>0・・・極小

原点(x,y)=(0,0) の停留点が極値か否かは、上の判別式は使えないので以下のように調べる。
原点を通る y=0の直線上で
f(x,0)=x⁴-x²=x²(x²-1)≦0　（x=0の近傍で）

原点を通る y=x の直線上で
f(x,-x)=x⁴+x⁴-(0)²=2x⁴≧0 (x=0 の近傍で)

したがって、(0,0)の停留点はは鞍点なので、極値ではない。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2019/12/03 04:19