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三点の座標から中心点を求める公式は以下のHPからわかったのですが、なぜこのような式が成り立つのかがわかりません。

http://www.geocities.co.jp/SiliconValley-Oakland …

分かる方がおられましたらお教え頂けないでしょうか。
参考URLがありましたらそちらでも構いません。
宜しくお願いします。

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円周の求め方」に関するQ&A: 円周率の求め方

A 回答 (3件)

表記されているサイトの考え方では三点を周上に含む円の中心を求めています。


円の定義というのはある1点から距離の等しい点の集まりです。
そこから考えれば円の中心点というのは、円周上の全ての点から距離の等しい点ということになります。
なので、中心点を求めるということは三点から距離の等しい点を求めればよいことになります。
三点を取れば一点に決まるためそれ以上は取らなくてもかまわないからです。

二点を結ぶ線分の垂直二等分線が二点間から距離の等しい点の集まりですから、サイトの表記方法に倣うとP1とP2の垂直二等分線とP2とP3の垂直二等分線の交点はP1,P2,P3の三点からの距離が等しい、すなわち三点を円周上に含む円の中心ということになります。

※質問者の方のレベルがどの程度かわからないのでこのような簡易的な回答にしました

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
こちらの理解レベルを示していなかったためにお手数をおかけしました。

おおよそ、Kou95さんの回答して頂いた内容までは理解しております。
知りたい内容というのは公式の証明にあたる部分でして、その辺の明記をしていなかったことをお詫びします。
ですが、ご丁寧な解説はわかりやすく感謝しております。

二度手間になってしまうので申し訳ありませんが、
もし公式の証明方法やそれに関係することで何か知っておられましたら、
そちらの解説もお願いしてもよろしいでしょうか?
もちろんお暇のある時で構いませんし、知っている場合のみで構いません。

宜しくお願い致します。

補足日時:2004/12/25 08:00
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公式の証明というのはサイトの下に出ている計算式のことでしょうか?


それであればNo.2の方が答えている通りです
ベクトルの内積を利用して方程式を立てれば答えは同じになるはずです。計算は多少面倒くさいですが難しい計算ではないので答えは求まるはずです。

サイトでは答えを表記するのにすっきりとさせるためにA~Eの記号を使っています。
これは証明の書き方の話になりますが、証明というのは必ずしもどのように考えたかということを書く必要はありません。結果が導かれてさえすればよいのです、Webスペース上であればアップできるファイルサイズの問題や表記方法に限りがあるのであのような形で書かれているのでしょう。
サイトでは単に計算の過程を省略しているだけのことです。

計算方法はこのようなベクトルを利用する以外に座標と距離の関係で幾何学的にやっても結果は同じです。

根本の概念はNo.1で記した通りですので後は計算するだけで問題はないです。
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この回答へのお礼

2度にわたってありがとうございます。

親切なご回答とてもありがたいです。
これからも利用する機会があると思いますので宜しくお願い致します。
いつか自分でも回答の立場に立てるようになりたいですね。

それではお世話になりました。

お礼日時:2004/12/27 14:41

 式を書いていくと煩雑になるのと,そこまでしなくても理解されると思われますので,考え方だけ簡単にアドバイスいたします。



 まず,2点P1, P2 及び2点P1, P3 の中点の座標は((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)と((x1+x3)/2, (y1+y3)/2)になります。

 線分P1P2の中点と円の中心(X, Y)を結ぶ線分が線分P1P2と垂直ですから,両者のベクトルの内積が0になります。これを式に表します。

 同様に,線分P1P3の中点と円の中心(X, Y)を結ぶ線分と線分P1P3のベクトルの内積も0になります。これも式に表します。

 得られた2つの式を解いて X, Y を求めると A, B, C, D, E に対応する項が出てきます。

 お書きのHPの式は見やすいように A, B, C, D, E の項を使って表示したものだと思います。何らかの関係から,A, B, C, D, E が求まって,そこから X, Y が求まったものではないでしょう。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど、そういう仕組みだったんですね。
納得できました。
要点が上手くまとまっていてとても分かりやすく、助かりました。
本当にありがとうございます。

私もいつか誰かの質問に同じようにわかりやすく説明してあげられるようになりたいです。
お世話になりました。

お礼日時:2004/12/27 14:38

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Q円弧3点の座標から円の中心座標と半径の求め方をお願いいたします。

円弧3点の座標から円の中心座標と半径の求め方をお願いいたします

Aベストアンサー

円の方程式の一般系は、
x^2 + y^2 + lx + my + n = 0である。
三点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)とすると、
これらを代入すれば、

(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する3元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 + n' - (l'/2)^2 - (m'/2)^2 = 0
(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 = {(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}

これにより、円の中心の座標は、(-l'/2,-m'/2)であり、
円の半径は、√{(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}となります。

円の方程式の一般系は、
x^2 + y^2 + lx + my + n = 0である。
三点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)とすると、
これらを代入すれば、

(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する3元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

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Q円の中心座標の問題の解き方を教えてください。

円の中心座標の問題の解き方を教えてください。

問題
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円の中心座標を求めよ

解く方針は以下のようにしました。
中心座標をO(X,Y,Z)とおき、AB、BCとCAの中点をそれぞれ点D,E,Fとして
OD,OE,OFはそれぞれAB、BC、CAと直交することから内積を利用して中心Oを求めようとしましたが、
解けませんでした。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

3点が1平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもxy平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

(解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2  (2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2    (3)

(2)-(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)-(3)より
x+2y+5z=17  (5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
|x, y,z,1|
|1,-2,1,1| = 0
|3, 1,7,1|
|2, 0,6,1|

4行目を各行から引いて
|x-2, y,z-6,0|
| -1,-2, -5,0| = 0
| 1, 1, 1,0|
| 2, 0, 6,1|

|x-2, y,z-6|
| -1,-2, -5| = 0
| 1, 1, 1|

展開して

3x-4y+z=12 (6)

(4)、(5)、(6)を連立して
x=80/13
y=51/26
z=18/13

3点が1平面上にあって、これらを通る円というのは気がつきませんでした。
3点A(1,-2,1) B(3,1,7) C(2,0,6)を通る円はこの平面では円でもxy平面に投影すると楕円になるところがにくいところです。

(解答)
円の中心座標をP(x,y,z)、半径をrとすると
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-1)^2=r^2 (1)
(x-3)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2  (2)
(x-2)^2+y^2+(z-6)^2=r^2    (3)

(2)-(3)より
x+y+z=19/2 (4)
(1)-(3)より
x+2y+5z=17  (5)

点P(x,y,z)、A(1,-2,1)、 B(3,1,7)、 C(2,0,6)
が1平面状にあることから

行列式
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Q三角形の外接円の中心座標を求めるプログラム

三点の座標(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が与えられたときに、三角形の外接円の中心座標と半径を求めるプログラムが欲しいです。

垂直二等分線の交点を求めるやり方は既に知っているのですが、連立方程式になってしまいます。
ですので出来ればこれを一発で求められる連立じゃない式が欲しいのですが、ご存じないでしょうか?

x = 何とか
y = 何とか
みたいな感じです。

Javaでやろうとしていますが、計算式さえわかれば自分で書けると思うので、中心座標のx,yを求める式を教えて下さい。

過去質問を探してみましたが、みんな連立方程式で解けば良いとおっしゃっていまして…

Aベストアンサー

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1-y3)(x1-x2)+2(y1-y2)(x1-x3)}

q = {(x1-x3)(x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2) +(x1-x2)(x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2)} / {2(x1-x3)(y1-y2)+2(x1-x2)(y1-y3)}


とかなり複雑な式になりました。
計算がどこかで間違っているかもしれませんが、残念ながらあまり美しくはなりませんね。

地道に解いた結果をもちいれば良いと思います。
中心を(p,q)とおくと

(x-p)^2+(y-q)^2=R^2
に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を代入して
(x1-p)^2+(y1-q)^2=R^2 (1)
(x2-p)^2+(y2-q)^2=R^2 (2)
(x3-p)^2+(y3-q)^2=R^2 (3)

(1)-(2)
(x1-p)^2-(x2-p)^2+(y1-q)^2-(y2-q)^2=0
(x1-x2)(x1+x2-2p) + (y1-y2)(y1+y2-2q)=0
-2(x1-x2)p -2(y1-y2)q +x1^2 -x2^2 +y1^2 -y2^2 =0

(1)-(3)
-2(x1-x3)p -2(y1-y3)q +x1^2 -x3^2 +y1^2 -y3^2 =0


p = {(y1-y3)(y1^2 -y2^2 +x1^2 -x2^2) +(y1-y2)(y1^2 -y3^2 +x1^2 -x3^2)} / {2(y1...続きを読む

Q3次元空間上の2点を結ぶ線分の中点を知りたい

3次元空間上の点A(x1, y1, z1)と点B(x2, y2 z2)を結んで出来る線分の中点を知りたいのですが、
完全な文系出身であまり数学に詳しくないため、公式の見方がよくわかりません。

Wikipediaの中点のページにあるn次元ユークリッド空間上の中点の公式がそれのようですが、
「n 次元ユークリッド空間上の2点 A, B を直交座標系であらわし、それぞれを (a0, ..., an-1), (b0, ..., bn-1) とすると」
の時点ですでに理解できないので、単純な公式で教えて下さると助かります。

Aベストアンサー

中点座標を(x3,y3,z3)とすると
x3=(x1+x2)/2
y3=(y1+y2)/2
z3=(z1+z2)/2

Q空間上の円の方程式について

空間上にある、3点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)
P3(x3,y3,z3)を通る円の方程式を求めよ。

平面の方程式は、法線ベクトルにより
求められる所までは分かっています。
空間における円の方程式は、球と平面の
交線で表せるというのは、わかったのですが、
この後、どーすれば良いのかが分かりません。

どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

3点を通る円の方程式でしょ?球じゃなくて。
適当な座標変換
(X,Y,Z)' = A (x,y,z)'
('は転置、Aは実数値の3×3行列で、AA' = I (単位行列))を使って、与えられた3点が
(X1,Y1,0), (X2,Y2,0), (X3,Y3,0)
に変換されるようにすれば、(このようなAは何通りもあります。)
Z=0の平面上の3点を通る円を決める問題になります。

 円の方程式
(X-B)^2 + (Y-C)^2 = R^2
は、3次元で見るとZが出てこない訳ですから、(球ではなく)軸がZ軸と平行な円柱を表しています。この方程式(つまりB,C,Rの値)が得られたら、これと、方程式
(X,Y,0)' = A (x,y,z)'
(Z=0の平面を表します。)とを連立させれば、X,Yが直ちに消去でき、x,y,zを含む2本の方程式が得られます。

Q多点を通る円の中心

3点を通る円の中心を求める解法はわかりますが、4点以上の多点を通る場合は、どのような求め方があるでしょうか?
どなたかわかる方アドバイス願います。

Aベストアンサー

#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に4点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい)ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
(たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味)
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を自乗して、
E^2 = ( XA + YB + C + X^2+Y^2 )^2
この式をA,B,Cそれぞれについて偏微分して0とおくと
X^2*A + XY*B + X*C + X(X^2+Y^2) = 0
XY*A + Y^2*B + Y*C + Y(X^2+Y^2) = 0
X*A + Y*B + C + (X^2+Y^2) = 0
という式が得られます。これをA,B,Cを変数とする連立方程式として解いて、変数変換したときの式で元にもどせば円の式が得られます。このとき上記の式において、XYに関する記述は次の意味なのでご注意下さい。
X^2 = x1 + … + x4
XY = x1*y1 + … + x4*y4
X = x1 + … + x4
X(X^2+Y^2) = x1*(x1^2+y1^2) + … + x4*(x4^2+y4-2)
Y^2 = y1^2 + … + y4^2
Y = y1 + … + y4
Y(X^2+Y^2) = y1*(x1^2+y1^2) + … + y4*(x4^2+y4-2)
(X^2+Y^2) = x1^2+y1^2 + … + x4^2+y4-2

連立方程式を解く部分はmaririn222さんに委ねます。
言うまでもないことですが、4点に対しての式を書きましたが、4点以上の何点でも適用できることは明らかですよね。

#3の続きです。
e=(x-a)^2+(y-b)^2-r^2
を展開して、
e = -2ax -2by + a^2+b^2-r^2 + x^2+y^2
となるので、
A = -2a
B = -2b
C = a^2+b^2-r^2
とおくと
e = xA + yB + C + x^2+y^2
となります。ここで、上式に4点の座標を代入して、両辺を足し合わせた結果を簡便に表す(ちょっとインチキですが我慢して下さい)ために次のようにおきます。
X = xに関する和
Y = yに関する和
(たとえば、XY=x1*y1 + … + x4*y4という意味)
E = e1 + e2 + e3 + e4
したがって、
E = XA + YB + C + X^2+Y^2
両辺を...続きを読む


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