e[1]=2,e[n+1]=Σk=1〜n e[k]+4^nにおいて、一般項e[n]を求めてください。

e[1]=2,e[n+1]=Σk=1〜n e[k]+4^nにおいて、一般項e[n]を求めてください。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/13 21:09

e₁=2

e₂=e₁+4=6

n≧2のとき
e[n+1]=2e[n]+3・4ⁿ⁻¹

n≧3のとき
e[n]=6・2ⁿ⁻²+12{Σ[k=0,n-3] 2^(n-3-k)・4^k}
=3{2ⁿ⁻¹+Σ[k=0,n-3] 2^(n-1+k)}

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/12/13 21:17

さらに計算すると

e[n]=3・2²ⁿ⁻³　(n≧3)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/13 21:18

E[k] = Σ[k=1〜n] e[k] と置くと、

E[1] = e[1] = 2,　E[n+1] - E[n] = E[n] + 4^n です。
漸化式は E[n+1] = 2E[n] + 4^n と変形できますが、この式は
E[n] = F[n] + c(4^n), (cは定数) で変換するとうまくいきそうな気がします。
代入してみると F[n+1] = 2F[n] + (1-2c)4^n となって、
c = 1/2 に定めれば F[n] = F[1]2^(n-1) と解けます。
さかのぼって、
F[n] = F[1]2^(n-1) = {E[1] - c(4^n)}2^(n-1) = {2 - (1/2)(4^n)}2^(n-1) = 2^n - (1/4)(8^n),
E[n] = F[n] - c(4^n) = 2^n - (1/4)(8^n) - (1/2)(4^n),
n ≧ 2 のとき e[n] = E[n] - E[n-1] = (1/2)2^n - (7/32)(8^n) - (3/8)(4^n).

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/13 21:29

ああ、後半がメタメタだ。

やりなおし。
F[n] = F[1]2^(n-1) = {E[1] - c(4^1)}2^(n-1) = {2 - (1/2)4}2^(n-1) = 0,
E[n] = F[n] + c(4^n) = 0 + (1/2)4^n,
n ≧ 2 のとき e[n] = E[n] - E[n-1] = (1/2)4^n - (1/2)4^(n-1) = (3/8)4^n.
また、e[1] = 2.