中学受験算数の立体の切断の問題です。 （1）（2）（3）はそれぞれ288,32,4:5とわかったので

中学受験算数の立体の切断の問題です。
（1）（2）（3）はそれぞれ288,32,4:5とわかったのですが（4）、（5）の問題が解けません。答えは18:17と3168/35のようです。よろしくお願いします。

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/12/17 14:20

我流の解き方です

説明のため点に名前をつけます
３点P,Q,Rを通る平面と辺BFの交点を点K
３点P,Q,Rを通る平面と辺DHの交点を点L
辺DCを 1:2 に内分する点（点Iの真上の点）を点M
３点P,Q,Rを通る平面と線MIの交点を点N

(4)
断面AEIMを考えるとAIとQNの交点が点Sで
求める AS:SI は△ASQと△ISNの相似から
AQ:INで計算できます

AQ=12

INは平面LHGJを考えて
HL=12, GJ=10, HI:IG=1:2, HL//GJ//IN だから、IN=12-(2/3)=34/3

よって、AS:SI=AQ:IN=12:(34/3)=18:17

(5)
(2)で求めた三角すいA-PQIの体積32 と
(4)で求めたAS:SI=18:17 より
三角すいA-PQSの体積は、
三角すいA-PQIと底面△APQが共通で高さの比がAI:ASと考えると
32*(18/35)

四角すいA-PQRSの体積は三角すいA-PQSと高さが共通と考えると
底面の面積の比で求められるので
四角形PQRS と三角形PQSとの面積の比を計算すればよい

四角形PQRS は△PQSと△QRSに分けられるので
それぞれの三角形の面積を四角形QKJLとの比で考える

△LNQは四角形QKJLの(1/6)
△PQSは△LNQの(1/2)*(18/35)
よって△PQSは四角形QKJLの(1/12)*(18/35)

同様に
△QNKは四角形QKJLの(1/2)
△QSRは△QNKの(3/4)*(18/35)
よって△PQSは四角形QKJLの(3/8)*(18/35)

四角形PQRS と三角形PQSとの面積の比は
((1/12)+(3/8)):(1/12)=(2+9):2=11:2
四角すいA-PQRSの体積は三角すいA-PQSの(11/2)倍

四角すいA-PQRSの体積は、32*(18/35)*(11/2)=32*9*11/35=3168/35

この回答へのお礼

とても参考になりましたありがとうございます。

お礼日時：2019/12/21 22:47

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/18 23:02

3点P、Q、Rを通る平面と辺DHとの交点をK、

Kを通り辺DCに平行な直線と辺CGとの交点をL、
Iを通り辺DHに平行な直線と辺DCとの交点をM、
Iを通り辺HEに平行な直線と辺EFとの交点をN、
IMとKL、KJとの交点をそれぞれ、X、Yとします。

(4) CJ＝８、CL＝６より、LJ＝２
XY∥LJ、KL=12、KX=4、LJ=２より、XY＝2/3
YI＝MI－MX－XY＝18－６－2/3=34/3

AQ∥YIなので、△AQSと△IYSは大きさは違いますが同じ形の三角形です。よって、対応する辺の比は等しく、
AQ:IY=AS:IS=QS:YS
AQ＝12、YI＝34/3 より、12:34/3=AS:SI
AS:SI=36:34=18:17

(5) 四角すい A-PQRS を、3点A、Q、Sを通る平面で切断し、三角すい S-AQP と三角すい S-AQR に分け、それぞれの体積を求めます。
(頂点Cの方から、四角すい A-PQRS を見るとわかりやすいと思います。)
Sより平面AQPに垂線を下ろし、その足をS´、Sより平面AQRに垂線を下ろし、その足をS´´とします。

三角すい S-AQP の体積は、△AQPを底面とみると、SS´が高さになり求めることができます。
SS´∥IH より、AI:AS=IH:SS´
(18+17):18=4:SS´より、35 SS´＝72　よって、SS´＝72/35
△AQPの面積は、AQを底辺とみると、PよりAEに下した垂線の長さが高さになり求めることができます。
AP:AH=1:2 より、高さはEHの1/2 で、８×1/2=4
△AQP＝12×４×1/2＝24
三角すい S-AQP の体積は、24×72/35×1/3=576/35……①

三角すい S-AQR の体積は、△AQRを底面とみると、SS´´が高さになり求めることができます。
SS´´∥IN より、AI:AS=IN:SS´´
(18+17):18=8:SS´´より、35 SS´´＝144　よって、SS´´＝144/35
△AQRの面積は、AQを底辺とみると、RよりAEに下した垂線の長さが高さになり求めることができます。
AR:AF=3:4より、高さはEFの3/4 で、12×3/4=9
△AQR＝12×9×1/2＝54
三角すい S-AQR の体積は、54×144/35×1/3=2592/35……②

①、②より、四角すい A-PQRS の体積は、
576/35+2592/35=3168/35

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございます。これからもよろしくお願い致します。

お礼日時：2019/12/23 01:37