フーリエの級数展開は何を知る時に使うのでしょうか？ 無限に続く関数に対して使うと聞きましたが、いまい

フーリエの級数展開は何を知る時に使うのでしょうか？
無限に続く関数に対して使うと聞きましたが、いまいちわかりません。

No.4 ベストアンサー 回答者： Bunbuk803 回答日時： 2019/12/22 12:55

あなたの疑問は『どんなものに、どう使うんだろう』ということと理解してお話ししようと思います。

この観点では、私も同じような疑問を持ちました。

フーリエ級数展開は、別名フーリエ変換と呼ばれています。
実用上の観点で言えば、このフーリエ級数展開は、その対象を『時間関数』とした場合、展開した結果は『周波数関数』になるということです。

例として、歌声の電気信号を考えましょう。
マイクで拾ったあなたの歌声は、横軸を時間、縦軸を音圧＝マイクの出力電圧、で表せます。
これではあなたが高音が得意のソプラノの歌い手なのか低音のベースなのかはわかりません。
そこでフーリエ変換の登場です。

どんな期間でもいいですから、期間を決めて、その期間内の音声信号を一定時間でサンプリング（一定時刻ごとの値を記録）します。
離散フーリエ変換は２のべきのデータ数を扱うのが楽なので、それだけの数値を集めて演算します。
その値を並べてグラフ化したものがあなたが示した図の最初の繰り返し部分です。

フーリエ変換の結果は複素数となります。 実用上は、その絶対値を使います。 すなわち、実部と虚部それぞれの二乗のわの平方根です。 なぜなら、これがある信号のその周波数の『電力＝パワー』に比例しているからです。

この計測法は、解析に使う信号についてある瞬間ではなく、ある区間となることと、サンプルする周期によって結果がことなります。
なので解析結果から意味のある情報を引き出すには慎重な判断が求められますが、時系列の情報に対して周波数という異次元の情報が提示できる点で捨てがたいものです。

エクセルでもフーリエ変換はできます。
どんな効果が得られるか、見てみてはいかがでしょう。
フーリエ変換は、このほかにも、周波数フィルタや信号識別にも使われます。
ここで説明したのは１次元のフーリエ変換ですが、多次元化すれば平面画像や動画画像、立体画像の認識、果てはサイバーセキュリティにもつかえる有用なものです。
あきらめずに頑張ってください。

No.3 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/12/22 08:07

違います。

無限に続く関数を級数表示したのではなく，ある明確な周期を持つ関数を級数表示したのがフーリエ級数です。ですから，フーリエ係数は，離散的な周期，つまり明確な最大周期の整数分の一の周期（周波数）成分ごとに算定されます。それに対し，無限に長い関数のフーリエ解析で用いるのは，フーリエ級数展開の最大周期を無限大にしたもの，つまりフーリエ変換です。フーリエ変換は連続的な周期に対する成分分布を示しています。よくスペクトルと呼ばれるものがそれにあたります。
　ですから，最大周期を持つ関数を級数表示したものです。また近似でもなんでもなく，級数表示したものです。あるいは，ある有限区間の境界値・初期値問題の解を無限級数表示で求める場合にも使われます。その基本的な問題の固有値問題を定式化し，その解，つまり固有関数を求めると，座標系によってはそれが三角関数だったりベッセル関数だったりルジャンドル多項式だったりするので，その無限個の固有関数の成分ごとの係数を求めて級数表示したものがフーリエ級数です。

No.2 回答者： amerikaumare 回答日時： 2019/12/21 22:38

たとえば　機械の騒音　を周波数分析（フーリエ級数解析）すると　おおい周波数がわかります。

その周波数から　どこからその騒音が発生しているかが推測できます。
「この周波数なら　その回転数をしているのはこの歯車だ」という具合です。その歯車を研磨してやると騒音が下がることが確認できるのです。

昔は　オシロスコープの画像をプロットしてフーリエ級数展開を手で計算して（まぁ６次までやればいいだろうとか）やったのですが．．．
今では オシロスコープに周波数アナライザーが付いている物が比較的安価で売られていて助かっています。

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2019/12/21 21:48

含まれる周波数成分やその強度を知りたい時です

よって音声処理や画像処理、脳波解析など様々な分野で信号解析に使われます

昔にも言った気がしますが、もう少し基礎を勉強した方がいいのでは？