画像の左の式をどうやって右の式にしたのかわかりません。 フーリエ正弦級数は知っています。

画像の左の式をどうやって右の式にしたのかわかりません。
フーリエ正弦級数は知っています。

質問者からの補足コメント

• もう一つ、質問があります。
  なぜ、初項a0は1/2倍されており、式にb0/2はないのでしょうか？
  また、なぜan=0,1,2,3,4...となるのにbn=1,2,3,4...と0が抜けているのでしょうか？

  
    補足日時：2019/12/27 16:25

• お二方ありがとうございます。
  bnがないのはnが0の時は sinの式が定数関数になるためとの事ですが、
  anのnが0の時はa0であり、フーリエ級数展開にa0がありますが、cosの式も定数関数になってしまうのではないでしょうか？
  
  もう一つ、画像に関して、anを求めた後、
  フーリエ級数展開に代入しますが、a0/2はどこに言ってしまったのでしょうか？
  
  もう一つ、画像の式に関して、近似するグラフが奇関数なので、bn sinの方を計算することになり、かつbnのnは奇数となるように2k-1となりましたがb2k-1の右辺の式はbn=2/nπ{1-(-1)^n}をnを2k-1として展開して求めたのでしょうか？

  
    補足日時：2019/12/28 16:34

• ごめんなさい、最初の質問に関して、お二方の解答を読んでみたのですが、置き換えではないとわかったのですが、どのようにして右辺になったのかどうか詳しく教えてください。

  
    補足日時：2019/12/28 16:38

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/27 19:03

上の写真は、f(x) がたまたま a_k = 0 になるようなもの(つまり奇関数)だった場合、

下の写真は、基本周期を L = 2π とした場合のフーリエ級数を書いたものです。
上の写真は、b_n を E_n と変名していますね。
「フーリエ正弦級数」なんて名前は知らなくてもいいかもだけど、
ただ普通のフーリエ級数展開だから、この変形は知っておかないと。

ｂ_0 が抜けている理由は、n = 0 のとき sin(nπ/L)x が定数関数 0 になるので、
それに掛かる係数は必要がないからです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/28 04:27

左から右の式に変形したのではなく、sin(nπx/L)の直交性を利用して

左式の特定項の係数を抜き出しているだけ。

b0の件は
上の式もn=0まで拡張すれE0が現れるが、上のsin(nπ/L)も下のSinnxも0だから
E0は何でも同じ。
上の右式ではE0は0になるからE0=0と決めておくと都合がよい。
同様に下の式でもb0=0とすれば有っても
問題無い。それだけ。

a0の件

フーリエ級数展開は
f(x)=∑[n=-∞→∞〕(a_n・cosnx+b_n・sinnx)
でa_n=a_(-n)
と定義すれば

an=(1/(2π))∫[-π→π]f(x)cosnxdx

と美しくかける。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/12/28 17:11

もう話すことはないのだけど、この質問の発端となったサイトでは

sin/cosの直交性をたくさん解説してたでしょ？
あなたも何度も質問に貼り付けてたけど

直交性がフーリ工展開の要なのにもうすっかりどっかに行ってるよね。

というわけで教科書で直交性を注視しながら、もう一度最初から
勉強しましょう。

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/12/28 20:31

＞どのようにして右辺になったのかどうか詳しく教えてください。

フーリエ級数に関する質問を連発してるようだから、
もうどれかの質問で、おそらくは複数の人に回答されていると思います。
回答を読んでいないのかな。

∫[0,L]f(x)sin((nπ/L)x)dx に f(x) = Σ[k=1→∞](ｂk)sin((kπ/L)x) を代入すると、
∫[0,L]f(x)sin((nπ/L)x)dx = ∫[0,L]{ Σ[k=1→∞](ｂk)sin((kπ/L)x) }sin((nπ/L)x)dx
= Σ[k=1→∞](ｂk)∫[0,L]sin((kπ/L)x)sin((nπ/L)x)dx
= (ｂn)∫[0,L]sin((nπ/L)x)sin((nπ/L)x)dx
= (ｂn)(L/2) より、
bn = (2/L)∫[0,L]f(x)sin((nπ/L)x)dx です。
∫[0,L]sin((nπ/L)x)sin((nπ/L)x)dx のうち値が 0 でないのが k = n の場合だけ
ということが計算の鍵となっています。これが、sin((nπ/L)x) の直交性というやつです。