自然対数のべき和を教えてください。

意義のある数学の問題を解くために、無限級数の和を求めたいのですが、高卒の小生では３～４年かけても解けませんでした。振動アーベル総和法など、いろいろと試したのですが、考えすぎて頭がオーバーヒート気味です。どなたか助けていただけませんか？
以下の自然数の自然対数のべき和は普通では無限大に発散しますが、解析接続するなら、和が有限値になるようです。解析接続での値f(k)を知りたいです。

　　Σ(n=1,∞)(In(n))^k=f(k) (k=1,2,3,4・・・・・・),(Inは自然対数記号です）

上式を解析接続で求めると

　　f(0)=1+1+1+1+1・・・・・・・・・・=ー1/2

f(1)=In(1・２・３・４・５・・・・・・)=In√(２π）　　（π：パイ）

となりますが、一般式のf(k)ではどのようになるのでしょうか？
数学の得意な方のご尽力をよろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/24 02:30

＞普通では無限大に発散しますが、解析接続するなら、和が有限値になるようです。

ああ、これは自然数の総和が -1/12 になるような詐欺に引っかかってるクチだ。
発散級数は発散するのであって、解析接続は魔法ではないし、
その単語ひとつで発散するものが収束したことになるわけでもない。
解析接続してから変数に値を代入する操作と、
変数に値を代入して発散級数になってしまったものを総和する操作は
操作の順序を入れ替えて同一視することはできない。