3次方程式の解と係数の関係

x^3+ax^2+bx+c=0　の解が p、q、r（すべて正）の時、p^(1/3)、q^(1/3）、r^(1/3)を解にもつ三次方程式はどのようになるでしょうか？
a,b,cで表現できそうな気はするのですが、上手くできません。
教えてください。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/09 01:51

「単純には」表せないというのは「表せない」ことを意味しないので＞#4. 例えば 2次の係数については前にここでも質問があって, 確かベストアンサーも付いてたと記憶している.

というか, むしろなんでこんなことしたいのかに興味がある.

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/03/08 16:03

定数項以外はたぶん無理。

p, q, rを解にもつ三次方程式をx^3 + ax^2 + bx + c=0の解と係数の関係は、

a=-(p+q+r)
b=pq+qr+pr
c=-pqr

p^(1/3), q^(1/3), r^(1/3)を解にもつ三次方程式をx^3 + dx^2 + ex + f=0とすると、解と係数の関係は、

d=-(p^(1/3) + q^(1/3) + r^(1/3))
e=(pq)^(1/3) + (qr)^(1/3) + (pr)^(1/3)
f=-(pqr)^(1/3)=c^(1/3)

定数項は容易だが、1次項、2次項の係数が単純には表せない。

この回答へのお礼

かけそうもないですか・・・。

お礼日時：2020/03/08 19:07

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2020/03/08 10:57

「上手くできません。

」って、どこをどのように考えたのでしょうか。

x³ の係数が 1 ですから、解が p, q, r ならば、(x-p)(x-q)(x-r)=0 と表せる筈です。
この考え方で ダメですか。

この回答へのお礼

展開したときに、ｘ＾２、ｘ、定数項の係数をあa,b,c　で表したいという事です。

お礼日時：2020/03/08 19:07

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/08 09:22

p,q,rはa,b,cの式で表せるからね↓

https://enjoymath.pomb.org/?p=12
これを No.1 の式へ代入する。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/08 03:14

α = p^(1/3)+q^(1/3)+r^(1/3), β = p^(1/3) q^(1/3) + q^(1/3) r^(1/3) + r^(1/3) p^(1/3), γ = p^(1/3) q^(1/3) r^(1/3) に対して

x^3 - α x^2 + β x - γ = 0.

この回答へのお礼

α、β、γをa,b,cで表せないか、というのがご質問の内容です。

お礼日時：2020/03/08 19:05