No.2ベストアンサー
- 回答日時:
こういうのは、ベクトルの「三角形の面積の公式」に当てはめるだけ。
以下、ベクトルの矢印は省略するので、適当に補って欲しい。
-----公式-----
ベクトルaとベクトルbで構成される三角形の面積は、
(1/2)√{|a|²|b|²-(a・b)²}
と表される。
もし、aとbが平面ベクトルで、その成分が、それぞれ(a1,a2),(b1,b2)
だとすると、上式は、(1/2)|a1b2-a2b1|となる。
------------
ベクトルAB=(-1,1,0)、ベクトルAC=(2t-1,2t,2t)で、
|AB|²=2、|AC|²=12t²-4t+1、AB・AC=1であるから、
△ABC=(1/2)√{2・(12t²-4t+1)-1²}
=(1/2)√(24t²-8t+1)
No.1
- 回答日時:
空間内の三角形ABCの辺の長さは、
AB=√((1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2)=√2
BC=√((0-2t)^2 + (1-2t)^2 + (0-2t)^2)=√(4t^2 + 4t^2 - 4t + 1 + 4t^2)=√(12t^2 - 4t + 1)
CA=√((2t-1)^2 + (2t-0)^2 + (2t-0)^2)=√(4t^2 - 4t + 1 + 4t^2 + 4t^2)=√(12t^2 - 4t + 1)
3辺の長さが分かったので、三角形ABCの面積はヘロンの公式で求めることができる。
√(s(s-a)(s-b)(s-c))
s=(a+b+c)/2=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)
s-a=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√(12t^2 - 4t + 1)=(√2/2)
s-b=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√(12t^2 - 4t + 1)=(√2/2)
s-c=(√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)-√2=(-√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1)
√{((√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1))(√2/2)(√2/2)((-√2/2)+√(12t^2 - 4t + 1))}
=√{(-(1/2)+(12t^2 - 4t + 1))(1/2)}
=√{((12t^2 - 4t + (1/2))(1/2)}
=√(6t^2 - 2t + (1/4))
=√(6(t-(1/6))^2 - (1/6) + (1/4))
=√(6(t-(1/6))^2 + (1/12))
ゆえに、三角形の面積は√(6(t-(1/6))^2 + (1/12))
全ての実数tにおいて三角形ABCの面積は成立する。
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