
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
実際に直線を引いて数えてみましょう。
直線が増えてくるとわかりづらくなりますから、なるべく広いスペースに直線を引いてみてください。[1]
①1本目 平面は2つに分割されます。1×2=2
②2本目 ①で分割された2つが、それぞれ2つに分割されます。2×2=4
③3本目 今までとは様子が変わります。②で分割された4つのうち、3つはそれぞれ2つに分割されますが、残りの1つはそのままです。3×2+1=7
④4本目 このあたりからわかりづらくなってきます。③で分割された7つは、4本目の直線により2つに分割されるものと、2つに分割されず1つのままのものとに分かれます。その区別をしっかりしていかなければなりません。4本目の直線は、それまでに引かれた3本の直線と必ず交わります。その交点を、A₁、A₂、A₃とします。4本目の直線は、この3つの点で、4つの部分に区切られます。そして、この4つの部分は、③で分割されたところを、それぞれ2つに分割します。つまり、③で分割された7つのうち4つは、それぞれ2つに分割されますが、残りの3つは1つのままです。4×2+3=11
⑤5本目 5本目の直線は、それまでに引かれた4本の直線と必ず交わります。その交点を、B₁、B₂、B₃、B₄とします。5本目の直線は、この4つの点で、5つの部分に区切られます。そして、この5つの部分は、④で分割されたところを、それぞれ2つに分割します。つまり、④で分割された11のうちの5つは、それぞれ2つに分割されますが、残りの6つは1つのままです。5×2+6=16
なんとなく雰囲気はつかめたと思いますが、n本引いたときにどうなるかは難しいと思います。ここからは直線のことは忘れて、①から⑤の結果を並べてみて考えます。
2、4、7、11、16、……(1)
この数列のn番目を求めれば良いわけです。『数列』を学習済みならば難しくはないので、ここから先は必要ないと思いますが、未習だとすると難しいと思います。
[2]
数列(1)の各項の差をとって、新しい数列を作ります。
2、3、4、5、……(2)
わかりやすい数列が現れました。(2)の数列を利用して、(1)の数列のn番目を求めます。(2)の数列は、(1)の数列がいくつずつ増えているかを表しています。(1)の数列の16の次は、(2)より、6つ増えるとわかりますので、16+6=22です。この22の次は、(2)より、7つ増えるとわかりますので、22+7=29です。
このようにしていくと、順番に次の数を求められますが、n番目を求めることはできません。そこで、見方を変えます。(1)の数列の16ですが、これは最初の2からスタートして、2増えて4、次に3増えて7、次に4増えて11、次に5増えて16です。この増える部分をひとまとめにして、最初の2からスタートして、2+(2+3+4+5)=16と求めます。(1)の数列の16は5番目でしたので、このような計算になりましたが、これと同様に考えて、(1)の数列のn番目は、2+(2+3+4+……+n)……Ⓐで求まります。
()の中をSとします。
S=2+3+4+……+(n-1)+n……Ⓑ
この足し算は、後ろから足しても答えは同じです。
S=n+(n-1)+(n-2)+……+3+2……Ⓒ
ⒷとⒸを2行に並べて、それぞれの項を上下で足します。
S=2 +3 +4+……+(n-1)+n
S=n+(n-1)+(n-2)+……+3+2
そうすると、左辺は2Sとなりますが、
2S=(n+2)+(n+2)+(n+2)+……+(n+2)+(n+2)
右辺は、(n+2) がずらっと並びますが、その数はⒷの式が2からnまでの和ですから、1からnまでの和ならばn個ですから、それより1個少ないので、(n-1)個です。
よって、2S=(n+2)×(n-1)
S=(n+2)(n-1)/2
これをⒶに代入して、n本の直線によって平面は、2+(n+2)(n-1)/2(個) に分割されされます。
No.1
- 回答日時:
有名な問題だけれど、どこかで見かけませんでしたか?
n 本の直線で平面が S(n) 個に分割されるとします。
k-1 本の直線で既に分割されているところに第 k の直線を引くと、
既に引けれていた直線との k-1 個の交点によって
最後の直線は k 個の部分に分割されます。
その k 個が、S(k-1) 個の領域のうち k 個を 2 個づつに分割するので、
S(k) = S(k-1) + k です。
S(0) = 1 と併せると、S(n) = S(0) + Σ[k=1...n]k = 1 + (n+1)n/2
だと判ります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z 3 2022/10/29 14:39
- 数学 球面と接する直線の軌跡が表す領域 4 2023/07/30 12:37
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 線形代数の平面についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:23
- 数学 数学の問題で法線ベクトルについて 5 2022/11/13 12:45
- 数学 この問題が分かりません! 右図の直線①②の式は、y=-x+4①、 y=3/4x+1② である。2つの 3 2022/05/04 22:29
- 中学校 OA=OB=OC=AB=AC=1、 ∠BOC=90°となる四面体OABCの 辺OA上に点DをOD:D 4 2022/10/11 10:07
- 数学 数II 質問 放物線y=3-x²(-√3≦x≦√3)とx軸に平行な直線が異なる2点A,Bで交わるとき 3 2023/08/16 18:17
- 高校 ーこのグラフにおいてー (問)Mを通る直線Lによって、平行四辺形OABCを2つの部分に分ける。この2 3 2022/04/10 14:24
- 数学 数学の一次関数の問題解いて欲しいです!お願いします! 次の直線の式を求めなさい ・傾きがー3/5で、 6 2022/08/24 23:30
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
平行な直線と平面の距離がどこ...
-
楕円と原点を通る直線との接点 ...
-
三角形ABCと点pが3AP→+2BP→+7CP...
-
放物線C:y=x^2+px+qは、点(...
-
線分AB上にあり、ABを3:2に分け...
-
正四面体の内接球の接点は各面...
-
下の図のように、底面BCDE...
-
y=√3分の1x+1とのなす角が4分の...
-
y=2xに関して、直線3x+y=15...
-
線を13等分する方法を教えてく...
-
平面上の3点OABについて線分AB...
-
角CAFの大きさを教えてください...
-
数学 ベクトル 成分 縦書き 横...
-
x軸の正の向きってどこのこと言...
-
数学Ⅱの図形の性質についてです...
-
平面上に△ABCと点Pがあり、点P...
-
この説明にでてくるA(aベクトル)と...
-
極座標に関して、次の直線の極...
-
このプリントの相対速度を求め...
-
直線と辺の違い
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
直線と辺の違い
-
△OABにおいて辺OAを2:3に内分す...
-
108の正の約数の個数とその総和
-
x軸の正の向きってどこのこと言...
-
角CAFの大きさを教えてください...
-
2点A(4.-2).B(-2.6)を通る直線...
-
二次関数y=x^2-mx-m+3のグラフ...
-
問題文「四面体OABCにおいて、△...
-
ペンと定規と方眼紙だけど正三...
-
数IIの三角関数の問題です。 直...
-
【問】複素数平面上の3点O(0)、...
-
ABベクトル=bベクトル-aベク...
-
中二の勉強です。 つぎのことが...
-
三角形OABにおいて考える。 辺O...
-
数学Ⅱの領域について x²+y²≦9...
-
数学の問題です 青チャートの問...
-
平面上の3点OABについて線分AB...
-
この図形が等脚台形になる理由...
-
2つのベクトルのなす角が0と18...
-
y=√3分の1x+1とのなす角が4分の...
おすすめ情報