お願いします！教えてください！ n本の直線によって平面にいくつに分割されるか求めよ。ただし、直線はど

お願いします！教えてください！







n本の直線によって平面にいくつに分割されるか求めよ。ただし、直線はどの3本も一点で交わらない目のとする。

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/09/13 21:03

実際に直線を引いて数えてみましょう。

直線が増えてくるとわかりづらくなりますから、なるべく広いスペースに直線を引いてみてください。

［１］
①1本目　平面は2つに分割されます。１×２＝２

②2本目　①で分割された２つが、それぞれ2つに分割されます。２×２＝４

③３本目　今までとは様子が変わります。②で分割された４つのうち、３つはそれぞれ２つに分割されますが、残りの１つはそのままです。３×２+1＝７

④４本目　このあたりからわかりづらくなってきます。③で分割された７つは、４本目の直線により２つに分割されるものと、２つに分割されず１つのままのものとに分かれます。その区別をしっかりしていかなければなりません。４本目の直線は、それまでに引かれた３本の直線と必ず交わります。その交点を、A₁、A₂、A₃とします。４本目の直線は、この３つの点で、４つの部分に区切られます。そして、この４つの部分は、③で分割されたところを、それぞれ２つに分割します。つまり、③で分割された７つのうち４つは、それぞれ２つに分割されますが、残りの３つは１つのままです。４×２+3＝11

⑤5本目　5本目の直線は、それまでに引かれた4本の直線と必ず交わります。その交点を、B₁、B₂、B₃、B₄とします。5本目の直線は、この4つの点で、5つの部分に区切られます。そして、この5つの部分は、④で分割されたところを、それぞれ2つに分割します。つまり、④で分割された11のうちの５つは、それぞれ2つに分割されますが、残りの６つは１つのままです。５×２+6＝16

なんとなく雰囲気はつかめたと思いますが、ｎ本引いたときにどうなるかは難しいと思います。ここからは直線のことは忘れて、①から⑤の結果を並べてみて考えます。
２、４、７、11、16、……(１)
この数列のｎ番目を求めれば良いわけです。『数列』を学習済みならば難しくはないので、ここから先は必要ないと思いますが、未習だとすると難しいと思います。

［２］
数列(１)の各項の差をとって、新しい数列を作ります。
２、３、４、５、……(２)
わかりやすい数列が現れました。(２)の数列を利用して、(１)の数列のｎ番目を求めます。(２)の数列は、(１)の数列がいくつずつ増えているかを表しています。(１)の数列の16の次は、(２)より、6つ増えるとわかりますので、16+６＝22です。この22の次は、(２)より、７つ増えるとわかりますので、22+７＝29です。

このようにしていくと、順番に次の数を求められますが、ｎ番目を求めることはできません。そこで、見方を変えます。(１)の数列の16ですが、これは最初の２からスタートして、2増えて4、次に3増えて７、次に４増えて11、次に５増えて16です。この増える部分をひとまとめにして、最初の２からスタートして、2+(２+３+４+５）＝16と求めます。(１)の数列の16は5番目でしたので、このような計算になりましたが、これと同様に考えて、(１)の数列のｎ番目は、２+(２+３+４+……+n)……Ⓐで求まります。

()の中をＳとします。
Ｓ＝2+3+4+……+(n-1)+n……Ⓑ
この足し算は、後ろから足しても答えは同じです。
Ｓ=n+(n-1)+(n-2)+……+3+2……Ⓒ
ⒷとⒸを2行に並べて、それぞれの項を上下で足します。

Ｓ＝2 +3 +4+……+(n-1)+n
Ｓ=n+(n-1)+(n-2)+……+3+2

そうすると、左辺は2Sとなりますが、
２S＝(n+2)+(n+2)+(n+2)+……+(n+2)+(n+2)
右辺は、(ｎ+2) がずらっと並びますが、その数はⒷの式が２からｎまでの和ですから、１からｎまでの和ならばｎ個ですから、それより1個少ないので、(ｎ-1)個です。

よって、２S=(n+2)×(n-1)
S=(n+2)(n-1)/2

これをⒶに代入して、n本の直線によって平面は、2+(n+2)(n-1)/2(個)　に分割されされます。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/08 20:21

有名な問題だけれど、どこかで見かけませんでしたか？

n 本の直線で平面が S(n) 個に分割されるとします。
k-1 本の直線で既に分割されているところに第 k の直線を引くと、
既に引けれていた直線との k-1 個の交点によって
最後の直線は k 個の部分に分割されます。
その k 個が、S(k-1) 個の領域のうち k 個を 2 個づつに分割するので、
S(k) = S(k-1) + k です。
S(0) = 1 と併せると、S(n) = S(0) + Σ[k=1...n]k = 1 + (n+1)n/2
だと判ります。